기초 미적분 예제

${(4 x - y)}^{4}$

단계 1

이항정리를 이용해 각 항을 구합니다. 이항정리에 의하면 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 입니다.

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(4 x)}^{4 - k} \cdot {(- y)}^{k}$

단계 2

합을 전개합니다.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(4 x)}^{4 - 0} \cdot {(- y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(4 x)}^{4 - 1} \cdot {(- y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(4 x)}^{4 - 2} \cdot {(- y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(4 x)}^{4 - 3} \cdot {(- y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(4 x)}^{4 - 4} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 3

전개한 각 항에 대해 지수를 간단히 합니다.

$1 \cdot {(4 x)}^{4} \cdot {(- y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

${(4 x)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(4 x)}^{4} \cdot {(- y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.2

$4 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4^{4} x^{4} \cdot {(- y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.3

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$256 x^{4} \cdot {(- y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.4

$- y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$256 x^{4} \cdot ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$256 \cdot {(- 1)}^{0} x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$256 \cdot 1 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.7

$256$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$256 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$256 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.9

$256$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$256 x^{4} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.10

$4 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$256 x^{4} + 4 \cdot (4^{3} x^{3}) \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.11

지수를 더하여 $4$ 에 $4^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.11.1

$4^{3}$ 를 옮깁니다.

$256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4 \cdot x^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.11.2

$4^{3}$ 에 $4$ 을 곱합니다.

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단계 4.11.2.1

$4$ 를 $1$ 승 합니다.

$256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} \cdot x^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.11.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$256 x^{4} + 4^{3 + 1} \cdot x^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.11.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot x^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.12

$4^{4} \cdot x^{3} \cdot {(- y)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot x^{3} \cdot (- y) + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.13

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot - 1 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.14

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$256 x^{4} + 256 \cdot - 1 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.15

$256$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.16

$4 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 6 \cdot (4^{2} x^{2}) \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.17

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 6 \cdot (16 x^{2}) \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.18

$16$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.19

$- y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} \cdot ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.20

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.21

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 \cdot 1 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.22

$96$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.23

간단히 합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} + 4 \cdot (4 x) \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.24

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} + 16 x \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.25

$- y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} + 16 x \cdot ({(- 1)}^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.26

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} + 16 \cdot {(- 1)}^{3} x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.27

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} + 16 \cdot - 1 x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.28

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.29

${(4 x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} + {(4 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.30

$4 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} + 4^{0} x^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.31

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} + 1 x^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.32

$x^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} + x^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.33

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} + 1 \cdot {(- y)}^{4}$

단계 4.34

${(- y)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} + {(- y)}^{4}$

단계 4.35

$- y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} + {(- 1)}^{4} y^{4}$

단계 4.36

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} + 1 y^{4}$

단계 4.37

$y^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$256 x^{4} - 256 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} + y^{4}$