기초 미적분 예제

${(4 a - b)}^{3}$

단계 1

이항정리를 이용해 각 항을 구합니다. 이항정리에 의하면 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 입니다.

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(4 a)}^{3 - k} \cdot {(- b)}^{k}$

단계 2

합을 전개합니다.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(4 a)}^{3 - 0} \cdot {(- b)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(4 a)}^{3 - 1} \cdot {(- b)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(4 a)}^{3 - 2} \cdot {(- b)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(4 a)}^{3 - 3} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 3

전개한 각 항에 대해 지수를 간단히 합니다.

$1 \cdot {(4 a)}^{3} \cdot {(- b)}^{0} + 3 \cdot {(4 a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(4 a)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(4 a)}^{3} \cdot {(- b)}^{0} + 3 \cdot {(4 a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.2

$4 a$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4^{3} a^{3} \cdot {(- b)}^{0} + 3 \cdot {(4 a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.3

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 a^{3} \cdot {(- b)}^{0} + 3 \cdot {(4 a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.4

$- b$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$64 a^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} b^{0}) + 3 \cdot {(4 a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$64 \cdot {(- 1)}^{0} a^{3} b^{0} + 3 \cdot {(4 a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$64 \cdot 1 a^{3} b^{0} + 3 \cdot {(4 a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.7

$64$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} b^{0} + 3 \cdot {(4 a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$64 a^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(4 a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.9

$64$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} + 3 \cdot {(4 a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.10

$4 a$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$64 a^{3} + 3 \cdot (4^{2} a^{2}) \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.11

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$64 a^{3} + 3 \cdot (16 a^{2}) \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.12

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} + 48 a^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.13

간단히 합니다.

$64 a^{3} + 48 a^{2} \cdot (- b) + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.14

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$64 a^{3} + 48 \cdot - 1 a^{2} b + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.15

$48$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 3 \cdot {(4 a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.16

간단히 합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 3 \cdot (4 a) \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.17

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.18

$- b$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a \cdot ({(- 1)}^{2} b^{2}) + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.19

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.20

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 \cdot 1 a b^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.21

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 \cdot {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.22

${(4 a)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(4 a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.23

$4 a$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 4^{0} a^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.24

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 a^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.25

$a^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + a^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.26

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 \cdot {(- b)}^{3}$

단계 4.27

${(- b)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(- b)}^{3}$

단계 4.28

$- b$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}$

단계 4.29

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} - b^{3}$