기초 미적분 예제

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$

단계 1

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$- 28 x^{3} + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

단계 2.1.2

$- 28 x^{3} + 7 x$ 에서 $- 7 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$- 28 x^{3}$ 에서 $- 7 x$ 를 인수분해합니다.

$- 7 x (4 x^{2}) + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

단계 2.1.2.2

$7 x$ 에서 $- 7 x$ 를 인수분해합니다.

$- 7 x (4 x^{2}) - 7 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

단계 2.1.2.3

$- 7 x (4 x^{2}) - 7 x (- 1)$ 에서 $- 7 x$ 를 인수분해합니다.

$- 7 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

단계 2.1.3

$4 x^{2}$ 을 ${(2 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

단계 2.1.4

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

단계 2.1.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$- 7 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

단계 2.1.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

단계 2.1.6

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 47 x^{2} - 12 = 0$

단계 2.1.7

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 u - 12 = 0$

단계 2.1.8

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 4 \cdot - 12 = - 48$ 이고 합이 $b = 47$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1.1

$47 u$ 에서 $47$ 를 인수분해합니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 (u) - 12 = 0$

단계 2.1.8.1.2

$47$ 를 $- 1$ + $48$ 로 다시 씁니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 48) u - 12 = 0$

단계 2.1.8.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

단계 2.1.8.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

단계 2.1.8.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 12 (4 u - 1) = 0$

단계 2.1.8.3

최대공약수 $4 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 12) = 0$

단계 2.1.9

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

단계 2.1.10

$4 x^{2}$ 을 ${(2 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

단계 2.1.11

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

단계 2.1.12

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

단계 2.1.13

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ 에서 $(2 x + 1) (2 x - 1)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.13.1

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ 에서 $(2 x + 1) (2 x - 1)$ 를 인수분해합니다.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

단계 2.1.13.2

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ 에서 $(2 x + 1) (2 x - 1)$ 를 인수분해합니다.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

단계 2.1.14

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

단계 2.1.15

AC 방법을 이용하여 $- 7 u + u^{2} + 12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.15.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $12$ 이고 합은 $- 7$ 입니다.

$- 4, - 3$

단계 2.1.15.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

단계 2.1.16

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.16.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

단계 2.1.16.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2.3

$2 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x + 1 = 0$

단계 2.3.2

$2 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 x = - 1$

단계 2.3.2.2

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{2}$

단계 2.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{2}$

단계 2.4

$2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 2.4.2

$2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 2.4.2.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 2.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.7

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 4, 3$

단계 3