기초 미적분 예제

$\sin (\sin^{-1} (u) - \tan^{-1} (v))$

단계 1

삼각함수의 차의 공식을 이용합니다.

$\sin (\sin^{-1} (u)) \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2

항을 간단히 합니다.

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단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

함수 사인과 아크사인은 역함수입니다.

$u \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.2

평면에 $(1, v)$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\tan^{-1} (v)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, v)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cos (\tan^{-1} (v))$ 는 $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 입니다.

$u \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.3

$\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 을 곱합니다.

$u (\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

$\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 을 곱합니다.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.4.2

$\sqrt{1 + v^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.4.3

$\sqrt{1 + v^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.4.6

${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ 을 $1 + v^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + v^{2}}$ 을(를) ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.4.6.5

간단히 합니다.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.5

$u$ 와 $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.6

평면에 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\sin^{-1} (u)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cos (\sin^{-1} (u))$ 는 $\sqrt{1 - u^{2}}$ 입니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1 - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.7

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1^{2} - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.8

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = u$ 입니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sin (\tan^{-1} (v))$

단계 2.1.9

평면에 $(1, v)$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\tan^{-1} (v)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, v)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\tan^{-1} (v))$ 는 $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 입니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$

단계 2.1.10

$\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} (\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}})$

단계 2.1.11

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.1.11.1

$\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}}$

단계 2.1.11.2

$\sqrt{1 + v^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}}$

단계 2.1.11.3

$\sqrt{1 + v^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}}$

단계 2.1.11.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}}$

단계 2.1.11.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}}$

단계 2.1.11.6

${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ 을 $1 + v^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.11.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + v^{2}}$ 을(를) ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.11.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.1.11.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.1.11.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.11.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.1.11.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}}$

단계 2.1.11.6.5

간단히 합니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$

단계 2.1.12

$- \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1.12.1

$\frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ 와 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 을 묶습니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{1 + v^{2}}$

단계 2.1.12.2

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$

단계 2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}} - v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$