기초 미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

단계 1

x절편을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

x절편을 구하려면 $y$ 에 $0$ 을 대입하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

$0 = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

단계 1.2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

항을 다시 묶습니다.

$- 3 x^{3} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

단계 1.2.2.2

$- 3 x^{3} + 15 x$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$- 3 x^{3}$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x \cdot x^{2} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

단계 1.2.2.2.2

$15 x$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 5 + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

단계 1.2.2.2.3

$- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 5)$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x (x^{2} - 5) + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

단계 1.2.2.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 20 = 0$

단계 1.2.2.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- 3 x (x^{2} - 5) + u^{2} - 9 u + 20 = 0$

단계 1.2.2.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 9 u + 20$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $20$ 이고 합은 $- 9$ 입니다.

$- 5, - 4$

단계 1.2.2.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 4) = 0$

단계 1.2.2.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 4) = 0$

단계 1.2.2.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

단계 1.2.2.8

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.8.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 1.2.2.8.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 1.2.2.9

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ 에서 $x^{2} - 5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.9.1

$- 3 x (x^{2} - 5)$ 에서 $x^{2} - 5$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 1.2.2.9.2

$(x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ 에서 $x^{2} - 5$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 1.2.2.9.3

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2))$ 에서 $x^{2} - 5$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 1.2.2.10

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

단계 1.2.2.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

단계 1.2.2.10.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

단계 1.2.2.11

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.11.1

인수가 항 $x \cdot - 2$ 과(와) $2 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

단계 1.2.2.11.2

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

단계 1.2.2.11.3

$x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

단계 1.2.2.12

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.12.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

단계 1.2.2.12.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

단계 1.2.2.13

항을 다시 정렬합니다.

$(x^{2} - 5) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

단계 1.2.2.14

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.14.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x - 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.14.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 4, 1$

단계 1.2.2.14.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x^{2} - 5) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

단계 1.2.2.14.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 1.2.4

$x^{2} - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x^{2} - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 5 = 0$

단계 1.2.4.2

$x^{2} - 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x^{2} = 5$

단계 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

단계 1.2.4.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{5}$

단계 1.2.4.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{5}$

단계 1.2.4.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

단계 1.2.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 1.2.6

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 1.2.7

$(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 4, - 1$

단계 1.3

점 형태의 x절편입니다.

x절편: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

단계 2

Y절편을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

y절편을 구하려면 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

단계 2.2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 0^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

단계 2.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

단계 2.2.3

괄호를 제거합니다.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 20$

단계 2.2.4

괄호를 제거합니다.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

단계 2.2.5

${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0 - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

단계 2.2.5.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

단계 2.2.5.1.3

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

단계 2.2.5.1.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0 + 0 - 9 \cdot 0 + 15 (0) + 20$

단계 2.2.5.1.5

$- 9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 + 0 + 15 (0) + 20$

단계 2.2.5.1.6

$15$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

단계 2.2.5.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

단계 2.2.5.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 + 0 + 20$

단계 2.2.5.2.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 + 20$

단계 2.2.5.2.4

$0$ 를 $20$ 에 더합니다.

$y = 20$

단계 2.3

점 형태의 y절편입니다.

y절편: $(0, 20)$

단계 3

교집합을 나열합니다.

x절편: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

y절편: $(0, 20)$

단계 4