기초 미적분 예제

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

단계 1

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = \sqrt{6}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

단계 4

쌍곡선의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

${\sqrt{6}}^{2}$ 을 $6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6}$ 을(를) $6^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{6^{1} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{6 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{6 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{6 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{6 + 2^{1}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{6 + 2}$

단계 5.3.3

$6$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\sqrt{8}$

단계 5.3.4

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{4 (2)}$

단계 5.3.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

단계 5.3.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 \sqrt{2}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

쌍곡선의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, \sqrt{6})$

단계 6.3

쌍곡선의 두 번째 꼭짓점은 $k$ 에서 $a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - a)$

단계 6.4

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, - \sqrt{6})$

단계 6.5

포물선의 꼭짓점은 $(h, k \pm a)$ 형태입니다. 포물선은 2개의 꼭짓점을 갖습니다.

$(0, \sqrt{6}), (0, - \sqrt{6})$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, 2 \sqrt{2})$

단계 7.3

쌍곡선의 두 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, - 2 \sqrt{2})$

단계 7.5

쌍곡선의 초점은 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

$(0, 2 \sqrt{2}), (0, - 2 \sqrt{2})$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

${\sqrt{6}}^{2}$ 을 $6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6}$ 을(를) $6^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{6^{1} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.1.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{6 + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.2

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{6 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{6 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{6 + 2^{1}}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.2.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{6 + 2}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.3

$6$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.4

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.4.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}$

단계 8.3.2

$\sqrt{2}$ 와 $\sqrt{6}$ 을 묶어 하나의 근호로 만듭니다.

$2 \sqrt{\frac{2}{6}}$

단계 8.3.3

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}$

단계 8.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

단계 8.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

단계 8.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

단계 8.3.4

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.6

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

단계 8.3.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.7.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 8.3.7.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 8.3.7.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 8.3.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 8.3.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 8.3.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8.3.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 8.3.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 8.3.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 8.3.8

$2$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

단계 9

초점 매개변수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다음의 공식을 이용하여 쌍곡선의 초점 매개변수 값을 구합니다.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

단계 9.2

$b$ , $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 9.3

${\sqrt{2}}^{2}$ 및 $\sqrt{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

${\sqrt{2}}^{2}$ 에서 $\sqrt{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 9.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$2 \sqrt{2}$ 에서 $\sqrt{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot 2}$

단계 9.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot 2}$

단계 9.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 10

쌍곡선이 위아래로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot x + 0$

단계 11

$\sqrt{3} \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \sqrt{3} x$

단계 12

$- \sqrt{3} \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = - \sqrt{3} x$

단계 13

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \sqrt{3} x, y = - \sqrt{3} x$

단계 14

이는 쌍곡선을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 0)$

꼭짓점: $(0, \sqrt{6}), (0, - \sqrt{6})$

초점: $(0, 2 \sqrt{2}), (0, - 2 \sqrt{2})$

이심률: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

초점 변수: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

점근선: $y = \sqrt{3} x$ , $y = - \sqrt{3} x$

단계 15