기초 미적분 예제

${(4 a - b)}^{3}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(4 a - b)}^{3}$ 의 경우 $n = 3$ 이므로 전개식의 계수는 선 $4$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 3 - 3 - 1$ 입니다.

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

단계 3

$a$ $4 a$ 및 $b$ $- b$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(4 a)}^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(4 a)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(4 a)}^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.2

$4 a$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4^{3} a^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.3

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 a^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.4

$- b$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$64 a^{3} ({(- 1)}^{0} b^{0}) + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$64 \cdot {(- 1)}^{0} a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$64 \cdot 1 a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.7

$64$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$64 a^{3} \cdot 1 + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.9

$64$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.10

$4 a$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$64 a^{3} + 3 (4^{2} a^{2}) {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.11

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$64 a^{3} + 3 (16 a^{2}) {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.12

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} + 48 a^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.13

간단히 합니다.

$64 a^{3} + 48 a^{2} (- b) + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.14

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$64 a^{3} + 48 \cdot - 1 a^{2} b + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.15

$48$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.16

간단히 합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 3 (4 a) {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.17

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.18

$- b$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.19

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.20

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 \cdot 1 a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.21

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.22

${(4 a)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.23

$4 a$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 4^{0} a^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.24

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 a^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.25

$a^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + a^{0} {(- b)}^{3}$

단계 4.26

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 {(- b)}^{3}$

단계 4.27

${(- b)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(- b)}^{3}$

단계 4.28

$- b$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}$

단계 4.29

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} - b^{3}$