기초 미적분 예제

${(x + \frac{3}{x})}^{4}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(x + \frac{3}{x})}^{4}$ 의 경우 $n = 4$ 이므로 전개식의 계수는 선 $5$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ 입니다.

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

단계 3

$a$ $x$ 및 $b$ $\frac{3}{x}$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(x)}^{4} {(\frac{3}{x})}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(x)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(x)}^{4} {(\frac{3}{x})}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.2

$\frac{3}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{4} \frac{3^{0}}{x^{0}} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{4} \frac{1}{x^{0}} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{4} \frac{1}{1} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.5

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{4} \cdot 1 + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.6

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.7

간단히 합니다.

$x^{4} + 4 x^{3} \frac{3}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.8

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.8.1

$4 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} + x (4 x^{2}) \frac{3}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.8.2

공약수로 약분합니다.

$x^{4} + x (4 x^{2}) \frac{3}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.8.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{4} + 4 x^{2} \cdot 3 + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.9

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.10

$\frac{3}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 x^{2} \frac{3^{2}}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.11

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 x^{2} \frac{9}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.12

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.12.1

$6 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + x^{2} \cdot 6 \frac{9}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.12.2

공약수로 약분합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + x^{2} \cdot 6 \frac{9}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.12.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 \cdot 9 + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.13

$6$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.14

간단히 합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 x {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.15

$\frac{3}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 x \frac{3^{3}}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.16

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 x \frac{27}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.17

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.17.1

$4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + x \cdot 4 \frac{27}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.17.2

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + x \cdot 4 \frac{27}{x \cdot x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.17.3

공약수로 약분합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + x \cdot 4 \frac{27}{x \cdot x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.17.4

수식을 다시 씁니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 \frac{27}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.18

$4$ 와 $\frac{27}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{4 \cdot 27}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.19

$4$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.20

${(x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.21

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + 1 {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.22

${(\frac{3}{x})}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + {(\frac{3}{x})}^{4}$

단계 4.23

$\frac{3}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + \frac{3^{4}}{x^{4}}$

단계 4.24

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + \frac{81}{x^{4}}$