기초 미적분 예제

$y = \log (x^{3} - 36 x)$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\log (x^{3} - 36 x)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$x^{3} - 36 x > 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{3} - 36 x = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x^{3} - 36 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} - 36 x = 0$

단계 2.2.1.2

$- 36 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 = 0$

단계 2.2.1.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 36$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} - 36) = 0$

단계 2.2.2

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

단계 2.2.3

인수분해합니다.

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단계 2.2.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 6$ 입니다.

$x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

단계 2.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x + 6) (x - 6) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 2.6

$x - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.6.1

$x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 6 = 0$

단계 2.6.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 2.7

$x (x + 6) (x - 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 6, 6$

단계 2.8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

단계 2.9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 2.9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

${(- 8)}^{3} - 36 \cdot - 8 > 0$

단계 2.9.1.3

좌변 $- 224$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 2.9.2

$- 6 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.1

$- 6 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 3$

단계 2.9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 3$ 로 치환합니다.

${(- 3)}^{3} - 36 \cdot - 3 > 0$

단계 2.9.2.3

좌변 $81$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 2.9.3

$0 < x < 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.9.3.1

$0 < x < 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 2.9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

${(3)}^{3} - 36 \cdot 3 > 0$

단계 2.9.3.3

좌변 $- 81$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 2.9.4

$x > 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.1

$x > 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 2.9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

${(8)}^{3} - 36 \cdot 8 > 0$

단계 2.9.4.3

좌변 $224$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 2.9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 6$ 거짓

$- 6 < x < 0$ 참

$0 < x < 6$ 거짓

$x > 6$ 참

$x < - 6$ 거짓

$- 6 < x < 0$ 참

$0 < x < 6$ 거짓

$x > 6$ 참

단계 2.10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 6 < x < 0$ 또는 $x > 6$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- 6, 0) \cup (6, \infty)$

조건제시법:

${x | - 6 < x < 0, x > 6}$

단계 4