기초 미적분 예제

$f (x) = {(2 x^{3} + 3)}^{4}$

단계 1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 2 x^{3} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x^{3} + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

단계 1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $2 x^{3} + 3$ 로 바꿉니다.

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2} + 0)$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$6 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2})$

단계 2.6.2

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$24 {(2 x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$

단계 2.6.3

$24 {(2 x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$24 x^{2} {(2 x^{3} + 3)}^{3}$