기초 미적분 예제

$f (x) = \sec^{3} (4 x^{2} + x)$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sec (4 x^{2} + x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sec (4 x^{2} + x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2} + x)]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2} + x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (4 x^{2} + x)$ 로 바꿉니다.

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2} + x)]$

단계 2

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 4 x^{2} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $4 x^{2} + x$ 로 바꿉니다.

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

단계 2.2

$\sec (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 입니다.

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $4 x^{2} + x$ 로 바꿉니다.

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) (\sec (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

단계 3

$\sec (4 x^{2} + x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (\sec^{1} (4 x^{2} + x) \sec^{2} (4 x^{2} + x)) (\tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

단계 4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 {\sec (4 x^{2} + x)}^{1 + 2} (\tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

단계 5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) (\tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

단계 6

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (8 x + \frac{d}{d x} [x])$

단계 10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (8 x + 1)$