기초 미적분 예제

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x - 2 y = 7$

단계 1

방정식의 양변을 $2$ 로 나눕니다.

$x^{2} + y^{2} - x - y = \frac{7}{2}$

단계 2

$x^{2} - x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

단계 2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- 1$ 및 $1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{2}$

단계 2.3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$d = - \frac{1}{2}$

단계 2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

단계 2.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{4}$

단계 2.4.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{4}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{1}{4}$

단계 2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

단계 3

$x^{2} - x$ 를 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + y^{2} - x - y = \frac{7}{2}$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} - y = \frac{7}{2}$

단계 4

양변에 $\frac{1}{4}$ 을 더하여 $- \frac{1}{4}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} - y = \frac{7}{2} + \frac{1}{4}$

단계 5

$y^{2} - y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

단계 5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 1$ 및 $1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

단계 5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

단계 5.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{2}$

단계 5.3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$d = - \frac{1}{2}$

단계 5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

단계 5.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{4}$

단계 5.4.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{4}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{1}{4}$

단계 5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 에 대입합니다.

${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

단계 6

$y^{2} - y$ 를 ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + y^{2} - x - y = \frac{7}{2}$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{7}{2} + \frac{1}{4}$

단계 7

양변에 $\frac{1}{4}$ 을 더하여 $- \frac{1}{4}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

단계 8

$\frac{7}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{1 + 1}{4}$

단계 8.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2}{4}$

단계 8.3

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 (1)}{4}$

단계 8.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

단계 8.3.2.2

공약수로 약분합니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

단계 8.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2}$

단계 8.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7 + 1}{2}$

단계 8.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

$7$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{8}{2}$

단계 8.5.2

$8$ 을 $2$ 로 나눕니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 4$

단계 9

원의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 원의 중심과 반지름을 구합니다.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

단계 10

이 원에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $r$ 은 원의 반지름을 나타내며 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리를 나타냅니다.

$r = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = \frac{1}{2}$

단계 11

원의 중심은 $(h, k)$ 에 있습니다.

중심: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

단계 12

이는 원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

반지름: $2$

단계 13