기초 미적분 예제

$y = 11^{x}$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 11^{y}$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$11^{y} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$11^{y} = x$

단계 2.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (11^{y}) = \ln (x)$

단계 2.3

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (11^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (11) = \ln (x)$

단계 2.4

$y \ln (11) = \ln (x)$ 의 각 항을 $\ln (11)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$y \ln (11) = \ln (x)$ 의 각 항을 $\ln (11)$ 로 나눕니다.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (x)}{\ln (11)}$

단계 2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$\ln (11)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (x)}{\ln (11)}$

단계 2.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (11)}$

단계 3

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (11)}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (11)}$ 가 $f (x) = 11^{x}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} \cdot 11^{x}$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} \cdot 11^{x} = \frac{\ln (11^{x})}{\ln (11)}$

단계 4.2.3

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (11^{x})$ 을 전개합니다.

$f^{- 1} \cdot 11^{x} = \frac{x \ln (11)}{\ln (11)}$

단계 4.2.4

$\ln (11)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} \cdot 11^{x} = \frac{x \ln (11)}{\ln (11)}$

단계 4.2.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} \cdot 11^{x} = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\ln (x)}{\ln (11)})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (11)}) = 11^{\frac{\ln (x)}{\ln (11)}}$

단계 4.3.3

밑 변환 규칙 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 을 사용합니다.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (11)}) = 11^{\log_{11} (x)}$

단계 4.3.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (11)}) = x$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (11)}$ 은 $f (x) = 11^{x}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (11)}$