기초 미적분 예제

$11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5 = 0$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 11$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{09}, \pm 5, \pm 0.\overline{45}$

단계 1.3

$0.\overline{45}$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $0.\overline{45}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$0.\overline{45}$ 을 다항식에 대입합니다.

$11 \cdot {0.\overline{45}}^{3} + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

단계 1.3.2

$0.\overline{45}$ 를 $3$ 승 합니다.

$11 \cdot 0.09391435 + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

단계 1.3.3

$11$ 에 $0.09391435$ 을 곱합니다.

$1.03305785 + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

단계 1.3.4

$0.\overline{45}$ 를 $2$ 승 합니다.

$1.03305785 + 17 \cdot 0.20661157 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

단계 1.3.5

$17$ 에 $0.20661157$ 을 곱합니다.

$1.03305785 + 3.51239669 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

단계 1.3.6

$1.03305785$ 를 $3.51239669$ 에 더합니다.

$4.54545454 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

단계 1.3.7

$- 21$ 에 $0.\overline{45}$ 을 곱합니다.

$4.54545454 - 9.\overline{54} + 5$

단계 1.3.8

$4.54545454$ 에서 $9.\overline{54}$ 을 뺍니다.

$- 5 + 5$

단계 1.3.9

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.4

$0.\overline{45}$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $11 x - 5$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5}{11 x - 5}$

단계 1.5

$11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ 을 $11 x - 5$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$11 x$

$5$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$5$

단계 1.5.2

피제수 $11 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $11 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			+	$11 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $11 x^{3} - 5 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$

단계 1.5.7

피제수 $22 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $11 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$10 x$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $22 x^{2} - 10 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$

단계 1.5.12

피제수 $- 11 x$ 의 고차항을 제수 $11 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							-	$11 x$	+	$5$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 11 x + 5$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							+	$11 x$	-	$5$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							+	$11 x$	-	$5$
										$0$

단계 1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 2 x - 1$

단계 1.6

$11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(11 x - 5) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$11 x - 5 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

단계 3

$11 x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$11 x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$11 x - 5 = 0$

단계 3.2

$11 x - 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$11 x = 5$

단계 3.2.2

$11 x = 5$ 의 각 항을 $11$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$11 x = 5$ 의 각 항을 $11$ 로 나눕니다.

$\frac{11 x}{11} = \frac{5}{11}$

단계 3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

$11$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{11 x}{11} = \frac{5}{11}$

단계 3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{5}{11}$

단계 4

$x^{2} + 2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x^{2} + 2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

단계 4.2

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.1.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.1.4

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.4.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

단계 4.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

단계 4.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.4.1.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.4.1.4

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1.4.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.4.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.4.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

단계 4.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

단계 4.2.4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = - 1 + \sqrt{2}$

단계 4.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.5.1.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.5.1.4

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1.4.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.5.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

단계 4.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

단계 4.2.5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = - 1 - \sqrt{2}$

단계 4.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

단계 5

$(11 x - 5) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{5}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = \frac{5}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

소수 형태:

$x = 0.\overline{45}, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$