기초 미적분 예제

$1 + \sin (θ) = 2 \cos^{2} (θ)$

단계 1

방정식의 양변에서 $2 \cos^{2} (θ)$ 를 뺍니다.

$1 + \sin (θ) - 2 \cos^{2} (θ) = 0$

단계 2

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $- 2 \cos^{2} (θ)$ 를 $- 2 (1 - \sin^{2} (θ))$ 로 바꿉니다.

$1 + \sin (θ) - 2 (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 + \sin (θ) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

단계 3.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \sin (θ) - 2 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

단계 3.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$1 + \sin (θ) - 2 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

단계 4

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\sin (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

단계 5

다항식을 다시 정렬합니다.

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

단계 6

$\sin (θ)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

단계 7

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 이고 합이 $b = 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

단계 7.1.2

$1$ 를 $- 1$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

단계 7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

단계 7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

단계 7.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

단계 7.3

최대공약수 $2 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

단계 8

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

단계 9

$2 u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$2 u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 u - 1 = 0$

단계 9.2

$2 u - 1 = 0$ 을 $u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 u = 1$

단계 9.2.2

$2 u = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$2 u = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

단계 9.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

단계 9.2.2.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{1}{2}$

단계 10

$u + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u + 1 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$u = - 1$

단계 11

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

단계 12

$u$ 에 $\sin (θ)$ 를 대입합니다.

$\sin (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

단계 13

각 식에 대하여 $θ$ 를 구합니다.

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = - 1$

단계 14

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$ 의 $θ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

사인 안의 $θ$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

단계 14.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{6}$ 입니다.

$θ = \frac{π}{6}$

단계 14.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$θ = π - \frac{π}{6}$

단계 14.4

$π - \frac{π}{6}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 14.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.2.1

$π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 14.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

단계 14.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

단계 14.4.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$θ = \frac{5 π}{6}$

단계 14.5

$\sin (θ)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 14.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 14.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 14.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 14.6

함수 $\sin (θ)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$

단계 15

$\sin (θ) = - 1$ 의 $θ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

사인 안의 $θ$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$θ = \arcsin (- 1)$

단계 15.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$\arcsin (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{2}$ 입니다.

$θ = - \frac{π}{2}$

단계 15.3

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

단계 15.4

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

단계 15.4.2

결과 각인 $\frac{3 π}{2}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$θ = \frac{3 π}{2}$

단계 15.5

$\sin (θ)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 15.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 15.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 15.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 15.6

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.6.1

$- \frac{π}{2}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

단계 15.6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 15.6.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.6.3.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 15.6.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 15.6.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.6.4.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 π - π}{2}$

단계 15.6.4.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{3 π}{2}$

단계 15.6.5

새 각을 나열합니다.

$θ = \frac{3 π}{2}$

단계 15.7

함수 $\sin (θ)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 16

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 17

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $θ = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$