기초 미적분 예제

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

단계 1

우변부터 시작합니다.

$\frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

단계 2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2} + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

단계 2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 \sin (θ) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ)$

단계 2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

단계 2.4

$a = 1$ 이고 $b = \sin (θ)$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{\cos^{2} (θ)}$

단계 3

피타고라스의 정리를 반대로 적용합니다.

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1 - \sin^{2} (θ)}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}$

단계 4.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \sin (θ)$ 입니다.

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

단계 4.2

${(1 + \sin (θ))}^{2}$ 및 $1 + \sin (θ)$ 의 공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

단계 5

$\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ 을 $\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$

단계 6

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ 은 항등식입니다