기초 미적분 예제

$x^{4} > 4 x^{2}$

단계 1

부등식의 양변에서 $4 x^{2}$ 를 뺍니다.

$x^{4} - 4 x^{2} > 0$

단계 2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$

단계 3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x^{4} - 4 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} = 0$

단계 3.1.2

$- 4 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 = 0$

단계 3.1.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

단계 3.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 0$

단계 3.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 3.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 5

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 5.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 5.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 5.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 5.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 6

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 7

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 7.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 8

$x^{2} (x + 2) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2, 2$

단계 9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

단계 10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{4} > 4 {(- 4)}^{2}$

단계 10.1.3

좌변 $256$ 가 우변 $64$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 10.2

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 1$

단계 10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 1$ 로 치환합니다.

${(- 1)}^{4} > 4 {(- 1)}^{2}$

단계 10.2.3

좌변 $1$ 이 우변 $4$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 10.3

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

${(1)}^{4} > 4 {(1)}^{2}$

단계 10.3.3

좌변 $1$ 이 우변 $4$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 10.4

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.4.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 10.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

${(4)}^{4} > 4 {(4)}^{2}$

단계 10.4.3

좌변 $256$ 가 우변 $64$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 10.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 2$ 또는 $x > 2$

단계 12

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

단계 13