기초 미적분 예제

$(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$

단계 1

$(0, 0)$ 과 $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ 를 연결하는 직선과 x축 간의 $\cos (θ)$ 를 구하려면, $(0, 0)$ , $(\frac{3 π}{2}, 0)$ , $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ 의 세 점으로 삼각형을 그립니다.

반대: $\frac{7 π}{4}$

인접: $\frac{3 π}{2}$

단계 2

피타고라스 정리 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 을 이용하여 빗변을 구합니다

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단계 2.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 2.1.1

$\frac{3 π}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{{(3 π)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

단계 2.1.2

$3 π$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{3^{2} π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

단계 2.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

단계 2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

단계 2.4

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 2.4.1

$\frac{7 π}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{{(7 π)}^{2}}{4^{2}}}$

단계 2.4.2

$7 π$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

단계 2.5

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{4^{2}}}$

단계 2.6

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

단계 2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{9 π^{2}}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

단계 2.8

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $16$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.8.1

$\frac{9 π^{2}}{4}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

단계 2.8.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

단계 2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}}$

단계 2.10

인수분해된 형태로 $\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}$ 를 다시 씁니다.

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단계 2.10.1

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{36 π^{2} + 49 π^{2}}{16}}$

단계 2.10.2

$36 π^{2}$ 를 $49 π^{2}$ 에 더합니다.

$\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$

단계 2.11

$\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$ 을 $\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

단계 2.12

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.12.1

$85$ 와 $π^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 85}}{\sqrt{16}}$

단계 2.12.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{16}}$

단계 2.13

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.13.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{4^{2}}}$

단계 2.13.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{π \sqrt{85}}{4}$

단계 3

$\cos (θ) = \frac{인접}{빗변}$ 이므로 $\cos (θ) = \frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$ 입니다.

$\frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$

단계 4

$\cos (θ)$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\cos (θ) = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

단계 4.2

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$3 π$ 에서 $π$ 를 인수분해합니다.

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

단계 4.2.2

$π \sqrt{85}$ 에서 $π$ 를 인수분해합니다.

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π (\sqrt{85})}$

단계 4.2.3

공약수로 약분합니다.

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

단계 4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{85}}$

단계 4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 (2)}{\sqrt{85}}$

단계 4.3.2

공약수로 약분합니다.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

단계 4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\cos (θ) = 3 (\frac{2}{\sqrt{85}})$

단계 4.4

$3$ 와 $\frac{2}{\sqrt{85}}$ 을 묶습니다.

$\cos (θ) = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

단계 4.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}}$

단계 4.6

$\frac{6}{\sqrt{85}}$ 에 $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ 을 곱합니다.

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

단계 4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$\frac{6}{\sqrt{85}}$ 에 $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ 을 곱합니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

단계 4.7.2

$\sqrt{85}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

단계 4.7.3

$\sqrt{85}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

단계 4.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

단계 4.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

단계 4.7.6

${\sqrt{85}}^{2}$ 을 $85$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{85}$ 을(를) $85^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

단계 4.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

단계 5

결과의 근사값을 구합니다.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85} \approx 0.65079137$