기초 미적분 예제

${(\sqrt{3} + i)}^{5}$

단계 1

이항정리 이용

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

${\sqrt{3}}^{5}$ 을 $\sqrt{3^{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.2

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.3

$243$ 을 $9^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$243$ 에서 $81$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.3.2

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.5

${\sqrt{3}}^{4}$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.5.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.5.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.5.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.5.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.6

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.7

$5$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.8

${\sqrt{3}}^{3}$ 을 $\sqrt{3^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.9

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{27} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.10

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.10.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.11

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.12

$3$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.13

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.14

$- 1$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.15

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.15.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.15.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.15.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.15.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.15.4.1

공약수로 약분합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.15.4.2

수식을 다시 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.15.5

지수값을 계산합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.16

$10$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.17

$i^{2}$ 로 인수분해합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (i^{2} \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.18

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- 1 \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.19

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.20

$- 1$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.21

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.21.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

단계 2.1.21.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + i^{5}$

단계 2.1.21.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + i^{5}$

단계 2.1.22

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{5}$

단계 2.1.23

$i^{4}$ 로 인수분해합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{4} i$

단계 2.1.24

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.24.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} i$

단계 2.1.24.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} i$

단계 2.1.24.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + 1 i$

단계 2.1.25

$i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

단계 2.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$9 \sqrt{3}$ 에서 $30 \sqrt{3}$ 을 뺍니다.

$45 i - 21 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

단계 2.2.2

$45 i$ 에서 $30 i$ 을 뺍니다.

$15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + i$

단계 2.2.3

$15 i$ 를 $i$ 에 더합니다.

$16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

단계 2.2.4

$- 21 \sqrt{3}$ 를 $5 \sqrt{3}$ 에 더합니다.

$16 i - 16 \sqrt{3}$

단계 2.2.5

$16 i$ 와 $- 16 \sqrt{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$- 16 \sqrt{3} + 16 i$

단계 3

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 4

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 5

실제값인 $a = - 16 \sqrt{3}$ 과 $b = 16$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{16^{2} + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

단계 6

$| z |$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$16$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

단계 6.1.2

$- 16 \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

단계 6.1.3

$- 16$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{256 + 256 {\sqrt{3}}^{2}}$

단계 6.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{256 + 256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 6.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 6.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 6.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

단계 6.2.5

지수값을 계산합니다.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

단계 6.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$256$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$| z | = \sqrt{256 + 768}$

단계 6.3.2

$256$ 를 $768$ 에 더합니다.

$| z | = \sqrt{1024}$

단계 6.3.3

$1024$ 을 $32^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| z | = \sqrt{32^{2}}$

단계 6.3.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| z | = 32$

단계 7

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{16}{- 16 \sqrt{3}})$

단계 8

$\frac{16}{- 16 \sqrt{3}}$ 에 역 탄젠트를 취하면 제2사분면의 각이 나오며 이 각의 값은 $\frac{5 π}{6}$ 입니다.

$θ = \frac{5 π}{6}$

단계 9

$θ = \frac{5 π}{6}$ , $| z | = 32$ 값을 대입합니다.

$32 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$