기초 미적분 예제

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

단계 1

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

단계 1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

단계 2

분모를 실수로 만들려면 $\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ 의 분자와 분모에 $10 i$ 의 켤레복소수를 곱합니다.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

단계 3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

조합합니다.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.1.5

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.1.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.1.7

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.1.8

$i$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.2

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.2.6

$0$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

단계 3.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(10 i) (1 + 0 i)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

단계 3.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

단계 3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

단계 3.3.2.2

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

단계 3.3.2.3

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

단계 3.3.2.4

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

단계 3.3.2.5

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

단계 3.3.2.6

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

단계 3.3.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

단계 3.3.2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

단계 3.3.2.9

$0$ 에 $i^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

단계 3.3.2.10

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

단계 3.3.2.11

$0 i$ 에서 $0 i$ 을 뺍니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

단계 3.3.3

$0$ 에 $i$ 을 곱합니다.

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

단계 3.3.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 20 i}{1}$

단계 4

$- 20 i$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 20 i$

단계 5

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 6

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 7

실제값인 $a = - 2$ 과 $b = 0$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

단계 8

$| z |$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$0$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

단계 8.2

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

단계 8.3

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$| z | = \sqrt{4}$

단계 8.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

단계 8.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| z | = 2$

단계 9

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

단계 10

$\frac{0}{- 2}$ 에 역탄젠트를 취하면 제3사분면의 각이 나오며 이 각의 값은 $3.14159265$ 입니다.

$θ = 3.14159265$

단계 11

$θ = 3.14159265$ , $| z | = 2$ 값을 대입합니다.

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$