기초 미적분 예제

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6} \leq 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x = 0$

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

단계 2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 6$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2.2

$- 4$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3

$4$ 를 $24$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.4

$28$ 을 $2^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

단계 4.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

단계 5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.2.2

$- 4$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.3

$4$ 를 $24$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.4

$28$ 을 $2^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

단계 5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

단계 5.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = - 1 + \sqrt{7}$

단계 6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.2.2

$- 4$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.3

$4$ 를 $24$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.4

$28$ 을 $2^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

단계 6.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

단계 6.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = - 1 - \sqrt{7}$

단계 7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

단계 8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

단계 9

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

단계 10

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

단계 10.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 10.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 6$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.3.1.3

$4$ 를 $24$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.3.1.4

$28$ 을 $2^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.1.4.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.3.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

단계 10.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

단계 10.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.4.1.3

$4$ 를 $24$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.4.1.4

$28$ 을 $2^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.1.4.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.4.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.4.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

단계 10.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

단계 10.2.4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = - 1 + \sqrt{7}$

단계 10.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.5.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.5.1.3

$4$ 를 $24$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.5.1.4

$28$ 을 $2^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.5.1.4.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.5.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

단계 10.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

단계 10.2.5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = - 1 - \sqrt{7}$

단계 10.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

단계 10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup (- 1 - \sqrt{7}, - 1 + \sqrt{7}) \cup (- 1 + \sqrt{7}, \infty)$

단계 11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1 - \sqrt{7}$

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$

$x > - 1 + \sqrt{7}$

단계 12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x < - 1 - \sqrt{7}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$x < - 1 - \sqrt{7}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 6} \leq 0$

단계 12.1.3

좌변 $- 0.\overline{3}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.2

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 6} \leq 0$

단계 12.2.3

좌변 $0.\overline{3}$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 12.3

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 2 (1) - 6} \leq 0$

단계 12.3.3

좌변 $- 0.\overline{3}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.4

$x > - 1 + \sqrt{7}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$x > - 1 + \sqrt{7}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 2 (4) - 6} \leq 0$

단계 12.4.3

좌변 $0.\overline{2}$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 12.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ 참

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ 거짓

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ 참

$x > - 1 + \sqrt{7}$ 거짓

$x < - 1 - \sqrt{7}$ 참

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ 거짓

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ 참

$x > - 1 + \sqrt{7}$ 거짓

단계 13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ 또는 $0 \leq x < - 1 + \sqrt{7}$

단계 14

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup [0, - 1 + \sqrt{7})$

단계 15