기초 미적분 예제

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} > \frac{2}{x - 4}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{2}{x - 4}$ 를 뺍니다.

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4} > 0$

단계 2

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x + 8$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $8$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 4, - 2$

단계 2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} > 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2}{x - 4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

단계 2.3

$\frac{2}{x - 4}$ 에 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + 6 - 2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + 6 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

단계 2.5.2

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 6 - 2 x + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

단계 2.5.3

$x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x + 6 + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

단계 2.5.4

$6$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- x + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

단계 2.6

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x) + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

단계 2.7

$10$ 을 $- 1 (- 10)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x) - 1 (- 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

단계 2.8

$- (x) - 1 (- 10)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

단계 2.9

$- (x - 10)$ 을 $- 1 (x - 10)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

단계 2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 10 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $10$ 를 더합니다.

$x = 10$

단계 5

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 6

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 10$

$x = 4$

$x = 2$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 10, 4, 2$

단계 9

$- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

단계 9.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 9.2.2

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.2.2.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 9.2.2.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 9.2.3

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.2.3.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 9.2.3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 9.2.4

$(x - 4) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, 2$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 10$

$x > 10$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.1.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{(0) + 6}{{(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 8} > \frac{2}{(0) - 4}$

단계 11.1.3

좌변 $0.75$ 가 우변 $- 0.5$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.2

$2 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.2.1

$2 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$\frac{(3) + 6}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 8} > \frac{2}{(3) - 4}$

단계 11.2.3

좌변 $- 9$ 이 우변 $- 2$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.3

$4 < x < 10$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.3.1

$4 < x < 10$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 7$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $7$ 로 치환합니다.

$\frac{(7) + 6}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 + 8} > \frac{2}{(7) - 4}$

단계 11.3.3

좌변 $0.8\overline{6}$ 가 우변 $0.\overline{6}$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.4

$x > 10$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.4.1

$x > 10$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 12$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $12$ 로 치환합니다.

$\frac{(12) + 6}{{(12)}^{2} - 6 \cdot 12 + 8} > \frac{2}{(12) - 4}$

단계 11.4.3

좌변 $0.225$ 이 우변 $0.25$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 2$ 참

$2 < x < 4$ 거짓

$4 < x < 10$ 참

$x > 10$ 거짓

$x < 2$ 참

$2 < x < 4$ 거짓

$4 < x < 10$ 참

$x > 10$ 거짓

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < 2$ 또는 $4 < x < 10$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, 2) \cup (4, 10)$

단계 14