기초 미적분 예제

$\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1} \geq 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$5 x - 7 = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

단계 2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$5 x = 7$

단계 3

$5 x = 7$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$5 x = 7$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

단계 3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{7}{5}$

단계 4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{2} = 1$

단계 5

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 6

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 7.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 7.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = \frac{7}{5}$

$x = 1, - 1$

단계 9

해를 하나로 합합니다.

$x = \frac{7}{5}, 1, - 1$

단계 10

$\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 1 = 0$

단계 10.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{2} = 1$

단계 10.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 10.2.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 10.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 10.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 10.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

단계 11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < \frac{7}{5}$

$x > \frac{7}{5}$

단계 12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\frac{5 (- 4) - 7}{{(- 4)}^{2} - 1} \geq 0$

단계 12.1.3

좌변 $- 1.8$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.2

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{5 (0) - 7}{{(0)}^{2} - 1} \geq 0$

단계 12.2.3

좌변 $7$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 12.3

$1 < x < \frac{7}{5}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$1 < x < \frac{7}{5}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1.2$

단계 12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1.2$ 로 치환합니다.

$\frac{5 (1.2) - 7}{{(1.2)}^{2} - 1} \geq 0$

단계 12.3.3

좌변 $- 2.\overline{27}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.4

$x > \frac{7}{5}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$x > \frac{7}{5}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{5 (4) - 7}{{(4)}^{2} - 1} \geq 0$

단계 12.4.3

좌변 $0.8\overline{6}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 12.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 1$ 참

$1 < x < \frac{7}{5}$ 거짓

$x > \frac{7}{5}$ 참

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 1$ 참

$1 < x < \frac{7}{5}$ 거짓

$x > \frac{7}{5}$ 참

단계 13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 1 < x < 1$ 또는 $x \geq \frac{7}{5}$

단계 14

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- 1, 1) \cup [\frac{7}{5}, \infty)$

단계 15