기초 미적분 예제

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25} \leq 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

$4 x^{2} - 25 = 0$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 9 x + 18$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $18$ 이고 합은 $- 9$ 입니다.

$- 6, - 3$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 4

$x - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 6 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 5

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 6

$(x - 6) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 6, 3$

단계 7

방정식의 양변에 $25$ 를 더합니다.

$4 x^{2} = 25$

단계 8

$4 x^{2} = 25$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$4 x^{2} = 25$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

단계 8.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{25}{4}$

단계 9

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

단계 10

$\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\sqrt{\frac{25}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

단계 10.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

단계 10.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

단계 10.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 10.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{5}{2}$

단계 11

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{5}{2}$

단계 11.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{5}{2}$

단계 11.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

단계 12

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 6, 3$

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

단계 13

해를 하나로 합합니다.

$x = 6, 3, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

단계 14

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$4 x^{2} - 25 = 0$

단계 14.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

방정식의 양변에 $25$ 를 더합니다.

$4 x^{2} = 25$

단계 14.2.2

$4 x^{2} = 25$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.1

$4 x^{2} = 25$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

단계 14.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

단계 14.2.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{25}{4}$

단계 14.2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

단계 14.2.4

$\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.4.1

$\sqrt{\frac{25}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

단계 14.2.4.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.4.2.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

단계 14.2.4.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

단계 14.2.4.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.4.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 14.2.4.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{5}{2}$

단계 14.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{5}{2}$

단계 14.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{5}{2}$

단계 14.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

단계 14.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

단계 15

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

단계 16

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$x < - \frac{5}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1

$x < - \frac{5}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 5$

단계 16.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 5$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 5)}^{2} - 9 \cdot - 5 + 18}{4 {(- 5)}^{2} - 25} \leq 0$

단계 16.1.3

좌변 $1.17\overline{3}$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 16.2

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 16.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18}{4 {(0)}^{2} - 25} \leq 0$

단계 16.2.3

좌변 $- 0.72$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 16.3

$\frac{5}{2} < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.1

$\frac{5}{2} < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2.75$

단계 16.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2.75$ 로 치환합니다.

$\frac{{(2.75)}^{2} - 9 \cdot 2.75 + 18}{4 {(2.75)}^{2} - 25} \leq 0$

단계 16.3.3

좌변 $0.1547619$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 16.4

$3 < x < 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.4.1

$3 < x < 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 16.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{{(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18}{4 {(4)}^{2} - 25} \leq 0$

단계 16.4.3

좌변 $- 0.\overline{051282}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 16.5

$x > 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.5.1

$x > 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 16.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

$\frac{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18}{4 {(8)}^{2} - 25} \leq 0$

단계 16.5.3

좌변 $0.\overline{043290}$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 16.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \frac{5}{2}$ 거짓

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ 참

$\frac{5}{2} < x < 3$ 거짓

$3 < x < 6$ 참

$x > 6$ 거짓

$x < - \frac{5}{2}$ 거짓

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ 참

$\frac{5}{2} < x < 3$ 거짓

$3 < x < 6$ 참

$x > 6$ 거짓

단계 17

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ 또는 $3 \leq x \leq 6$

단계 18

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup [3, 6]$

단계 19