기초 미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$

단계 1

$x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$- 4 x^{3} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

단계 2.1.2

$- 4 x^{3} - 20 x$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$- 4 x^{3}$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x \cdot x^{2} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

단계 2.1.2.2

$- 20 x$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 5 + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

단계 2.1.2.3

$- 4 x (x^{2}) - 4 x (5)$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x (x^{2} + 5) + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

단계 2.1.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 x (x^{2} + 5) + {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 75 = 0$

단계 2.1.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- 4 x (x^{2} + 5) + u^{2} - 10 u - 75 = 0$

단계 2.1.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 10 u - 75$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 75$ 이고 합은 $- 10$ 입니다.

$- 15, 5$

단계 2.1.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 4 x (x^{2} + 5) + (u - 15) (u + 5) = 0$

단계 2.1.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

단계 2.1.7

$- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ 에서 $x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.7.1

$- 4 x (x^{2} + 5)$ 에서 $x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

단계 2.1.7.2

$(x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ 에서 $x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15) = 0$

단계 2.1.7.3

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15)$ 에서 $x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 5) (- 4 x + x^{2} - 15) = 0$

단계 2.1.8

항을 다시 정렬합니다.

$(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} + 5 = 0$

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

단계 2.3

$x^{2} + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x^{2} + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 5 = 0$

단계 2.3.2

$x^{2} + 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 5$

단계 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

단계 2.3.2.3

$\pm \sqrt{- 5}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.3.1

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

단계 2.3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (5)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

단계 2.3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{5}$

단계 2.3.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{5}$

단계 2.3.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{5}$

단계 2.3.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

단계 2.4

$x^{2} - 4 x - 15$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{2} - 4 x - 15$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.4.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = - 15$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.3

$16$ 를 $60$ 에 더합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.4

$76$ 을 $2^{2} \cdot 19$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1.4.1

$76$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

단계 2.4.2.3.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 2 \pm \sqrt{19}$

단계 2.4.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

단계 2.5

$(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

단계 3