기초 미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 40$

단계 1

$x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 40$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 40 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$- 3 x^{3} - 6 x^{2} + x^{4} - 12 x - 40 = 0$

단계 2.1.2

$- 3 x^{3} - 6 x^{2}$ 에서 $- 3 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1

$- 3 x^{3}$ 에서 $- 3 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x^{2} x - 6 x^{2} + x^{4} - 12 x - 40 = 0$

단계 2.1.2.2

$- 6 x^{2}$ 에서 $- 3 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x^{2} x - 3 x^{2} \cdot 2 + x^{4} - 12 x - 40 = 0$

단계 2.1.2.3

$- 3 x^{2} (x) - 3 x^{2} (2)$ 에서 $- 3 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x^{2} (x + 2) + x^{4} - 12 x - 40 = 0$

단계 2.1.3

유리근 정리르 이용하여 $x^{4} - 12 x - 40$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.3.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

단계 2.1.3.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

단계 2.1.3.3

$- 2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 2.1.3.3.1

$- 2$ 을 다항식에 대입합니다.

${(- 2)}^{4} - 12 \cdot - 2 - 40$

단계 2.1.3.3.2

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$16 - 12 \cdot - 2 - 40$

단계 2.1.3.3.3

$- 12$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$16 + 24 - 40$

단계 2.1.3.3.4

$16$ 를 $24$ 에 더합니다.

$40 - 40$

단계 2.1.3.3.5

$40$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.3.4

$- 2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{4} - 12 x - 40}{x + 2}$

단계 2.1.3.5

$x^{4} - 12 x - 40$ 을 $x + 2$ 로 나눕니다.

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단계 2.1.3.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

단계 2.1.3.5.2

피제수 $x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

단계 2.1.3.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

단계 2.1.3.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{4} + 2 x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

단계 2.1.3.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

단계 2.1.3.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

단계 2.1.3.5.7

피제수 $- 2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

단계 2.1.3.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

단계 2.1.3.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

단계 2.1.3.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

단계 2.1.3.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

단계 2.1.3.5.12

피제수 $4 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

단계 2.1.3.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

단계 2.1.3.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x^{2} + 8 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

단계 2.1.3.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$20 x$

단계 2.1.3.5.16

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$20 x$

$40$

단계 2.1.3.5.17

피제수 $- 20 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$20$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$20 x$

$40$

단계 2.1.3.5.18

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$4 x$	-	$20$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$40$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
							+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
									-	$20 x$	-	$40$
									-	$20 x$	-	$40$

단계 2.1.3.5.19

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 20 x - 40$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$20$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$20 x$

$40$

$20 x$

$40$

단계 2.1.3.5.20

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$20$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$20 x$

$40$

$20 x$

$40$

$0$

단계 2.1.3.5.21

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20$

단계 2.1.3.6

$x^{4} - 12 x - 40$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$- 3 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20) = 0$

단계 2.1.4

$- 3 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.4.1

$- 3 x^{2} (x + 2)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (- 3 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20) = 0$

단계 2.1.4.2

$(x + 2) (- 3 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (- 3 x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20) = 0$

단계 2.1.5

$- 3 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$(x + 2) (x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 20) = 0$

단계 2.1.6

인수분해합니다.

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단계 2.1.6.1

인수분해된 형태로 $x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 20$ 를 다시 씁니다.

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단계 2.1.6.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.1.6.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x + 2) ((x^{3} - 5 x^{2}) + 4 x - 20) = 0$

단계 2.1.6.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x + 2) (x^{2} (x - 5) + 4 (x - 5)) = 0$

단계 2.1.6.1.2

최대공약수 $x - 5$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 2) ((x - 5) (x^{2} + 4)) = 0$

단계 2.1.6.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 2) (x - 5) (x^{2} + 4) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

단계 2.3

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.4

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 2.5

$x^{2} + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x^{2} + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 4 = 0$

단계 2.5.2

$x^{2} + 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 4$

단계 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

단계 2.5.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

단계 2.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

단계 2.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

단계 2.5.2.3.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

단계 2.5.2.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 2$

단계 2.5.2.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \pm 2 i$

단계 2.5.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.5.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2 i$

단계 2.5.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2 i$

단계 2.5.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2 i, - 2 i$

단계 2.6

$(x + 2) (x - 5) (x^{2} + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 5, 2 i, - 2 i$

단계 3