기초 미적분 예제

$z^{4} = 81 i$

단계 1

$z^{4}$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$u^{4} = 81 i$

단계 2

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 3

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 4

실제값인 $a = 0$ 과 $b = 81$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{81^{2}}$

단계 5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| z | = 81$

단계 6

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{81}{0})$

단계 7

편각이 정의되지 않고 $b$ 가 양수이므로 복소평면에서 점의 각은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$θ = \frac{π}{2}$

단계 8

$θ = \frac{π}{2}$ , $| z | = 81$ 값을 대입합니다.

$81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

단계 9

방정식의 우변을 삼각함수 형식으로 바꿉니다.

$u^{4} = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

단계 10

드무아브르의 정리를 이용해 $u$ 의 식을 찾습니다.

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 81 i = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

단계 11

삼각함수 형식의 절대값을 $r^{4}$ 가 되게 하여 $r$ 의 값을 구합니다.

$r^{4} = 81$

단계 12

$r$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{81}$

단계 12.2

$\pm \sqrt[4]{81}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$81$ 을 $3^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

단계 12.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$r = \pm 3$

단계 12.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$r = 3$

단계 12.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$r = - 3$

단계 12.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$r = 3, - 3$

단계 13

$r$ 의 근사값을 구합니다.

$r = 3$

단계 14

가능한 $θ$ 값을 구합니다.

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ , $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

단계 15

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ 식이 되도록 하는 모든 $θ$ 값 구하기.

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

단계 16

$r = 0$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

단계 17

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$2 π (0)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1.1

$0$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

단계 17.1.1.2

$0$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

단계 17.1.2

$\frac{π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 θ = \frac{π}{2}$

단계 17.2

$4 θ = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

$4 θ = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

단계 17.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

단계 17.2.2.1.2

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

단계 17.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

단계 17.2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

단계 17.2.3.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{π}{8}$

단계 18

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{4} = 81 i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1

$\cos (\frac{π}{8})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1.1

여섯 개의 삼각함수 값을 알고 있는 각을 $2$ 로 나누어 $\frac{π}{8}$ 를 다시 씁니다.

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.1.2

코사인 반각공식 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 을(를) 적용합니다.

$u_{0} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.1.3

코사인은 제1사분면에서 양수이므로 $\pm$ 를 $+$ 로 바꿉니다.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.1.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1.5.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.1.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.1.5.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.1.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.1.5.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.1.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.1.5.6

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1.5.6.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.1.5.6.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

단계 19.1.2

$\sin (\frac{π}{8})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.2.1

여섯 개의 삼각함수 값을 알고 있는 각을 $2$ 로 나누어 $\frac{π}{8}$ 를 다시 씁니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

단계 19.1.2.2

사인 반각공식을 적용합니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

단계 19.1.2.3

사인은 1사분면에서 양수이므로 $\pm$ 을(를) $+$ (으)로 바꿉니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

단계 19.1.2.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.2.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

단계 19.1.2.4.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

단계 19.1.2.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

단계 19.1.2.4.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

단계 19.1.2.4.5

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.2.4.5.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

단계 19.1.2.4.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

단계 19.1.2.4.6

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

단계 19.1.2.4.7

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.2.4.7.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

단계 19.1.2.4.7.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

단계 19.1.3

$i$ 와 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

단계 19.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

단계 19.2.2

$3$ 와 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

단계 20

오른쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 에 $z^{4}$ 을 대입합니다.

$z_{0} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

단계 21

$r = 1$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

단계 22

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

단계 22.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

단계 22.1.3

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

단계 22.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

단계 22.1.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

단계 22.1.6

$π$ 를 $4 π$ 에 더합니다.

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

단계 22.2

$4 θ = \frac{5 π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.1

$4 θ = \frac{5 π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

단계 22.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

단계 22.2.2.1.2

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

단계 22.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

단계 22.2.3.2

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.3.2.1

$\frac{5 π}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

단계 22.2.3.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{5 π}{8}$

단계 23

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{4} = 81 i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1.1

$\cos (\frac{5 π}{8})$ 의 정확한 값은 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1.1.1

여섯 개의 삼각함수 값을 알고 있는 각을 $2$ 로 나누어 $\frac{5 π}{8}$ 를 다시 씁니다.

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.2

코사인 반각공식 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 을(를) 적용합니다.

$u_{1} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.3

2사분면에서 코사인이 음수이므로 $\pm$ 을(를) $-$ (으)로 바꿉니다.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1.1.4.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.4.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.4.6

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1.1.4.6.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.4.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.4.7

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.4.8

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1.1.4.8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.1.4.8.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

단계 24.1.2

$\sin (\frac{5 π}{8})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1.2.1

여섯 개의 삼각함수 값을 알고 있는 각을 $2$ 로 나누어 $\frac{5 π}{8}$ 를 다시 씁니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

단계 24.1.2.2

사인 반각공식을 적용합니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

단계 24.1.2.3

사인은 제2사분면에서 양수이므로 $\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

단계 24.1.2.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1.2.4.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

단계 24.1.2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

단계 24.1.2.4.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1.2.4.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

단계 24.1.2.4.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

단계 24.1.2.4.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

단계 24.1.2.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

단계 24.1.2.4.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

단계 24.1.2.4.7

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1.2.4.7.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

단계 24.1.2.4.7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

단계 24.1.2.4.8

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

단계 24.1.2.4.9

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1.2.4.9.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

단계 24.1.2.4.9.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

단계 24.1.3

$i$ 와 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

단계 24.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{1} = 3 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

단계 24.2.2

$3$ 와 $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{1} = \frac{3 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

단계 24.2.3

$- \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

단계 24.2.4

$i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

단계 24.2.5

$- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

단계 24.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.2.6.1

$- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ 을 $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{1} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

단계 24.2.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

단계 25

오른쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 에 $z^{4}$ 을 대입합니다.

$z_{1} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

단계 26

$r = 2$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

단계 27

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

단계 27.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $4 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

단계 27.1.3

$4 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

단계 27.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

단계 27.1.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

단계 27.1.6

$π$ 를 $8 π$ 에 더합니다.

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

단계 27.2

$4 θ = \frac{9 π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.1

$4 θ = \frac{9 π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

단계 27.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

단계 27.2.2.1.2

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

단계 27.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

단계 27.2.3.2

$\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.3.2.1

$\frac{9 π}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

단계 27.2.3.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{9 π}{8}$

단계 28

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{4} = 81 i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1.1

$\cos (\frac{9 π}{8})$ 의 정확한 값은 $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1.1.1

여섯 개의 삼각함수 값을 알고 있는 각을 $2$ 로 나누어 $\frac{9 π}{8}$ 를 다시 씁니다.

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.2

코사인 반각공식 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 을(를) 적용합니다.

$u_{2} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.3

3사분면에서 코사인이 음수이므로 $\pm$ 을(를) $-$ (으)로 바꿉니다.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1.1.4.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.4.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.4.6

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1.1.4.6.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.4.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.4.7

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.4.8

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1.1.4.8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.1.4.8.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

단계 29.1.2

$\sin (\frac{9 π}{8})$ 의 정확한 값은 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1.2.1

여섯 개의 삼각함수 값을 알고 있는 각을 $2$ 로 나누어 $\frac{9 π}{8}$ 를 다시 씁니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

단계 29.1.2.2

사인 반각공식을 적용합니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

단계 29.1.2.3

3사분면에서 사인이 음수이므로 $\pm$ 을(를) $-$ (으)로 바꿉니다

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

단계 29.1.2.4

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1.2.4.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

단계 29.1.2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

단계 29.1.2.4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

단계 29.1.2.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

단계 29.1.2.4.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

단계 29.1.2.4.6

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1.2.4.6.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

단계 29.1.2.4.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

단계 29.1.2.4.7

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

단계 29.1.2.4.8

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1.2.4.8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

단계 29.1.2.4.8.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

단계 29.1.3

$i$ 와 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

단계 29.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{2} = 3 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

단계 29.2.2

$3$ 와 $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{2} = \frac{3 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

단계 29.2.3

$- \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

단계 29.2.4

$- i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

단계 29.2.5

$- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

단계 29.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.2.6.1

$- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ 을 $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{2} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

단계 29.2.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

단계 30

오른쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 에 $z^{4}$ 을 대입합니다.

$z_{2} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

단계 31

$r = 3$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

단계 32

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 32.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 32.1.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

단계 32.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $6 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

단계 32.1.3

$6 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

단계 32.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

단계 32.1.5

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

단계 32.1.6

$π$ 를 $12 π$ 에 더합니다.

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

단계 32.2

$4 θ = \frac{13 π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 32.2.1

$4 θ = \frac{13 π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

단계 32.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 32.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 32.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

단계 32.2.2.1.2

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

단계 32.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 32.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

단계 32.2.3.2

$\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 32.2.3.2.1

$\frac{13 π}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

단계 32.2.3.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{13 π}{8}$

단계 33

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{4} = 81 i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.1.1

$\cos (\frac{13 π}{8})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.1.1.1

여섯 개의 삼각함수 값을 알고 있는 각을 $2$ 로 나누어 $\frac{13 π}{8}$ 를 다시 씁니다.

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.2

코사인 반각공식 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 을(를) 적용합니다.

$u_{3} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.3

코사인은 4사분면에서 양수이므로 $\pm$ 를 $+$ 로 바꿉니다.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.4

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.1.1.4.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.4.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.4.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.4.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.4.7

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.1.1.4.7.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.4.7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.4.8

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.4.9

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.1.1.4.9.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.1.4.9.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

단계 34.1.2

$\sin (\frac{13 π}{8})$ 의 정확한 값은 $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.1.2.1

여섯 개의 삼각함수 값을 알고 있는 각을 $2$ 로 나누어 $\frac{13 π}{8}$ 를 다시 씁니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

단계 34.1.2.2

사인 반각공식을 적용합니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

단계 34.1.2.3

사인은 4사분면에서 음수이므로 $\pm$ 을(를) $-$ (으)로 바꿉니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

단계 34.1.2.4

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 34.1.2.4.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

단계 34.1.2.4.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

단계 34.1.2.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

단계 34.1.2.4.4

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.1.2.4.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

단계 34.1.2.4.4.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

단계 34.1.2.4.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

단계 34.1.2.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

단계 34.1.2.4.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

단계 34.1.2.4.8

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.1.2.4.8.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

단계 34.1.2.4.8.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

단계 34.1.2.4.9

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

단계 34.1.2.4.10

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.1.2.4.10.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

단계 34.1.2.4.10.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

단계 34.1.3

$i$ 와 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

단계 34.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

단계 34.2.2

$3$ 와 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

단계 35

오른쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 에 $z^{4}$ 을 대입합니다.

$z_{3} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

단계 36

$u^{4} = 81 i$ 에 대한 복소수 해입니다.

$z_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

$z_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$