기초 미적분 예제

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(5) \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

단계 1.2

$\frac{5}{2}$ 와 $i$ 을 묶습니다.

$- \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2}$

단계 2

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 3

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 4

실제값인 $a = - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 과 $b = \frac{5}{2}$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

단계 5

$| z |$ 를 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

단계 5.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

단계 5.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

단계 5.4

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 5.4.1

$- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

단계 5.4.2

$\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})}$

단계 5.4.3

$5 \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

단계 5.5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

단계 5.5.2

$\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

단계 5.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

단계 5.6.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

단계 5.6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

단계 5.6.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

단계 5.6.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

단계 5.6.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

단계 5.6.2.5

지수값을 계산합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

단계 5.7

식을 간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

단계 5.7.2

$25$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

단계 5.7.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$| z | = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

단계 5.7.4

$25$ 를 $75$ 에 더합니다.

$| z | = \sqrt{\frac{100}{4}}$

단계 5.7.5

$100$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$| z | = \sqrt{25}$

단계 5.7.6

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

단계 5.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| z | = 5$

단계 6

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}})$

단계 7

$\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}$ 에 역 탄젠트를 취하면 제2사분면의 각이 나오며 이 각의 값은 $\frac{5 π}{6}$ 입니다.

$θ = \frac{5 π}{6}$

단계 8

$θ = \frac{5 π}{6}$ , $| z | = 5$ 값을 대입합니다.

$5 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$