기초 미적분 예제

${(4 + 4 i)}^{5}$

단계 1

이항정리 이용

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$4$ 를 $5$ 승 합니다.

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.2

지수를 더하여 $4^{4}$ 에 $4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$4$ 를 옮깁니다.

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.2.2

$4$ 에 $4^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$4$ 를 $1$ 승 합니다.

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.2.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.3

$4$ 를 $5$ 승 합니다.

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.4

$5$ 에 $1024$ 을 곱합니다.

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.5

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.6

$10$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.7

$4 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.8

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.9

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.10

$640 (16 \cdot - 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.10.2

$640$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.11

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.12

$10$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.13

$4 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.14

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.15

$i^{2}$ 로 인수분해합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.16

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.17

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.18

$- 1$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.19

$- 64$ 에 $160$ 을 곱합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.20

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.21

$4 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.22

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.23

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.23.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.23.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.23.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.24

$20 (256 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.24.1

$256$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.24.2

$20$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

단계 2.1.25

$4 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

단계 2.1.26

$4$ 를 $5$ 승 합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

단계 2.1.27

$i^{4}$ 로 인수분해합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

단계 2.1.28

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.28.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

단계 2.1.28.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

단계 2.1.28.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

단계 2.1.29

$i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

단계 2.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$1024$ 에서 $10240$ 을 뺍니다.

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

단계 2.2.2

$- 9216$ 를 $5120$ 에 더합니다.

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

단계 2.2.3

$5120 i$ 에서 $10240 i$ 을 뺍니다.

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

단계 2.2.4

$- 5120 i$ 를 $1024 i$ 에 더합니다.

$- 4096 - 4096 i$

단계 3

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 4

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 5

실제값인 $a = - 4096$ 과 $b = - 4096$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

단계 6

$| z |$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 4096$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

단계 6.2

$- 4096$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

단계 6.3

$16777216$ 를 $16777216$ 에 더합니다.

$| z | = \sqrt{33554432}$

단계 6.4

$33554432$ 을 $4096^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$33554432$ 에서 $16777216$ 를 인수분해합니다.

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

단계 6.4.2

$16777216$ 을 $4096^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

단계 6.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

단계 7

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

단계 8

$\frac{- 4096}{- 4096}$ 에 역탄젠트를 취하면 제3사분면의 각이 나오며 이 각의 값은 $\frac{5 π}{4}$ 입니다.

$θ = \frac{5 π}{4}$

단계 9

$θ = \frac{5 π}{4}$ , $| z | = 4096 \sqrt{2}$ 값을 대입합니다.

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$