기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3} - 7 x^{2} - 8 x - 9}{x - 4}$

단계 1

식 $\frac{x^{3} - 7 x^{2} - 8 x - 9}{x - 4}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = 4$

단계 2

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 3

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 1$

단계 4

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 5

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$4$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$9$

단계 5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 4 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

단계 5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$

단계 5.7

피제수 $- 3 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$

단계 5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

단계 5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 3 x^{2} + 12 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$

단계 5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$

단계 5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$	-	$9$

단계 5.12

피제수 $- 20 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$	-	$9$

단계 5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$	-	$9$
							-	$20 x$	+	$80$

단계 5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 20 x + 80$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$	-	$9$
							+	$20 x$	-	$80$

단계 5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$	-	$9$
							+	$20 x$	-	$80$
									-	$89$

단계 5.16

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x^{2} - 3 x - 20 - \frac{89}{x - 4}$

단계 5.17

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = x^{2} - 3 x - 20$

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = 4$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = x^{2} - 3 x - 20$

단계 7