기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{5} - 3 x^{4} - 13 x^{3} + 18 x^{2} - 17 x + 12}{x - 5}$

단계 1

식 $\frac{x^{5} - 3 x^{4} - 13 x^{3} + 18 x^{2} - 17 x + 12}{x - 5}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = 5$

단계 2

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 3

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 5$

$m = 1$

단계 4

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 5

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

단계 5.2

피제수 $x^{5}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{4}$
	$x$	-	$5$		$x^{5}$	-	$3 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$17 x$	+	$12$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{5} - 5 x^{4}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

단계 5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

단계 5.7

피제수 $2 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

단계 5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

단계 5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{4} - 10 x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

단계 5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

단계 5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

단계 5.12

피제수 $- 3 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

단계 5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

단계 5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 3 x^{3} + 15 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

단계 5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

단계 5.16

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

단계 5.17

피제수 $3 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

단계 5.18

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

단계 5.19

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 x^{2} - 15 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

단계 5.20

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

단계 5.21

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

단계 5.22

피제수 $- 2 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

단계 5.23

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

단계 5.24

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x + 10$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

단계 5.25

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

$2$

단계 5.26

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{2}{x - 5}$

단계 5.27

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = 5$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$

단계 7