기초 미적분 예제

$\frac{(x^{2} - 9 x)}{x - 5} < 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} - 9 x = 0$

$x - 5 = 0$

단계 2

$x^{2} - 9 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x - 9 x = 0$

단계 2.2

$- 9 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x + x \cdot - 9 = 0$

단계 2.3

$x \cdot x + x \cdot - 9$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x - 9) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 9 = 0$

단계 4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5

$x - 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$x - 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 9 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$x = 9$

단계 6

$x (x - 9) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 9$

단계 7

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0, 9$

$x = 5$

단계 9

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, 9, 5$

단계 10

$\frac{x^{2} - 9 x}{x - 5}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - 9 x}{x - 5}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 5 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

단계 11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$5 < x < 9$

$x > 9$

단계 12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 12.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2}{(- 2) - 5} < 0$

단계 12.1.3

좌변 $- 3.\overline{142857}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 12.2

$0 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.2.1

$0 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\frac{{(2)}^{2} - 9 \cdot 2}{(2) - 5} < 0$

단계 12.2.3

좌변 $4.\overline{6}$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.3

$5 < x < 9$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.3.1

$5 < x < 9$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 7$

단계 12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $7$ 로 치환합니다.

$\frac{{(7)}^{2} - 9 \cdot 7}{(7) - 5} < 0$

단계 12.3.3

좌변 $- 7$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 12.4

$x > 9$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.4.1

$x > 9$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 12$

단계 12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $12$ 로 치환합니다.

$\frac{{(12)}^{2} - 9 \cdot 12}{(12) - 5} < 0$

단계 12.4.3

좌변 $5.\overline{142857}$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 0$ 참

$0 < x < 5$ 거짓

$5 < x < 9$ 참

$x > 9$ 거짓

$x < 0$ 참

$0 < x < 5$ 거짓

$5 < x < 9$ 참

$x > 9$ 거짓

단계 13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < 0$ 또는 $5 < x < 9$

단계 14

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, 0) \cup (5, 9)$

단계 15