기초 미적분 예제

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 17 x - 30 < 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 17 x - 30 = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 17 x - 30$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 30, \pm 15, \pm 2, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2.5, \pm 6$

단계 2.1.3

$- 2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 2.1.3.1

$- 2$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 17 \cdot - 2 - 30$

단계 2.1.3.2

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 17 \cdot - 2 - 30$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$- 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 17 \cdot - 2 - 30$

단계 2.1.3.4

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 16 + 3 \cdot 4 - 17 \cdot - 2 - 30$

단계 2.1.3.5

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 16 + 12 - 17 \cdot - 2 - 30$

단계 2.1.3.6

$- 16$ 를 $12$ 에 더합니다.

$- 4 - 17 \cdot - 2 - 30$

단계 2.1.3.7

$- 17$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 4 + 34 - 30$

단계 2.1.3.8

$- 4$ 를 $34$ 에 더합니다.

$30 - 30$

단계 2.1.3.9

$30$ 에서 $30$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.4

$- 2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 17 x - 30}{x + 2}$

단계 2.1.5

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 17 x - 30$ 을 $x + 2$ 로 나눕니다.

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단계 2.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$30$

단계 2.1.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$

단계 2.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

단계 2.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} + 4 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

단계 2.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$

단계 2.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$17 x$

단계 2.1.5.7

피제수 $- x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$17 x$

단계 2.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

단계 2.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{2} - 2 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

단계 2.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$

단계 2.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	-	$30$

단계 2.1.5.12

피제수 $- 15 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	-	$30$

단계 2.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	-	$30$

단계 2.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 15 x - 30$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	+	$30$

단계 2.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$17 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	+	$30$
										$0$

단계 2.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$2 x^{2} - x - 15$

단계 2.1.6

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 17 x - 30$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x + 2) (2 x^{2} - x - 15) = 0$

단계 2.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.2.1.1.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (2 x^{2} - (x) - 15) = 0$

단계 2.2.1.1.2

$- 1$ 를 $5$ + $- 6$ 로 다시 씁니다.

$(x + 2) (2 x^{2} + (5 - 6) x - 15) = 0$

단계 2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 2) (2 x^{2} + 5 x - 6 x - 15) = 0$

단계 2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x + 2) ((2 x^{2} + 5 x) - 6 x - 15) = 0$

단계 2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x + 2) (x (2 x + 5) - 3 (2 x + 5)) = 0$

단계 2.2.1.3

최대공약수 $2 x + 5$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 2) ((2 x + 5) (x - 3)) = 0$

단계 2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 2) (2 x + 5) (x - 3) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 2 = 0$

$2 x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 4

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 5

$2 x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$2 x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x + 5 = 0$

단계 5.2

$2 x + 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$2 x = - 5$

단계 5.2.2

$2 x = - 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$2 x = - 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

단계 5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

단계 5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 5}{2}$

단계 5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{5}{2}$

단계 6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 7

$(x + 2) (2 x + 5) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, - \frac{5}{2}, 3$

단계 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

단계 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 9.1

$x < - \frac{5}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x < - \frac{5}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 5$

단계 9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 5$ 로 치환합니다.

$2 {(- 5)}^{3} + 3 {(- 5)}^{2} - 17 \cdot - 5 - 30 < 0$

단계 9.1.3

좌변 $- 120$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.2

$- \frac{5}{2} < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 9.2.1

$- \frac{5}{2} < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2.25$

단계 9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2.25$ 로 치환합니다.

$2 {(- 2.25)}^{3} + 3 {(- 2.25)}^{2} - 17 \cdot - 2.25 - 30 < 0$

단계 9.2.3

좌변 $0.65625$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.3

$- 2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 9.3.1

$- 2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$2 {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 17 \cdot 0 - 30 < 0$

단계 9.3.3

좌변 $- 30$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.4

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 9.4.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$2 {(6)}^{3} + 3 {(6)}^{2} - 17 \cdot 6 - 30 < 0$

단계 9.4.3

좌변 $408$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \frac{5}{2}$ 참

$- \frac{5}{2} < x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

$x < - \frac{5}{2}$ 참

$- \frac{5}{2} < x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

단계 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - \frac{5}{2}$ 또는 $- 2 < x < 3$

단계 11

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- 2, 3)$

단계 12