기초 미적분 예제

${(x^{2} y - 1)}^{5}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(x^{2} y - 1)}^{5}$ 의 경우 $n = 5$ 이므로 전개식의 계수는 선 $6$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ 입니다.

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

단계 3

$a$ $x^{2} y$ 및 $b$ $- 1$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(x^{2} y)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(x^{2} y)}^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(x^{2} y)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.2

$x^{2} y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(x^{2})}^{5} y^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.3

${(x^{2})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{2 \cdot 5} y^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.3.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{10} y^{5} \cdot 1 + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.5

$x^{10}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.6

$x^{2} y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{10} y^{5} + 5 ({(x^{2})}^{4} y^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.7

${(x^{2})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{10} y^{5} + 5 (x^{2 \cdot 4} y^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.7.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} + 5 (x^{8} y^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.8

지수값을 계산합니다.

$x^{10} y^{5} + 5 x^{8} y^{4} \cdot - 1 + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.9

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.10

$x^{2} y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 ({(x^{2})}^{3} y^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.11

${(x^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.11.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 (x^{2 \cdot 3} y^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.11.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 (x^{6} y^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.12

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} \cdot 1 + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.13

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.14

$x^{2} y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 ({(x^{2})}^{2} y^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.15

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.15.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 (x^{2 \cdot 2} y^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.15.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 (x^{4} y^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.16

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 x^{4} y^{2} \cdot - 1 + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.17

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.18

간단히 합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 (x^{2} y) {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.19

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y \cdot 1 + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.20

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.21

${(x^{2} y)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.22

$x^{2} y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + {(x^{2})}^{0} y^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.23

${(x^{2})}^{0}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.23.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + x^{2 \cdot 0} y^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.23.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + x^{0} y^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.24

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + 1 y^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.25

$y^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + y^{0} {(- 1)}^{5}$

단계 4.26

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + 1 {(- 1)}^{5}$

단계 4.27

${(- 1)}^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + {(- 1)}^{5}$

단계 4.28

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y - 1$