기초 미적분 예제

$x = y^{2} - 4 y$

단계 1

$y^{2} - 4 y = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y^{2} - 4 y = x$

단계 2

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$y^{2} - 4 y - x = 0$

단계 3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = - x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ 을 $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.3.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.3.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

단계 5.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

단계 6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ 을 $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.3.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.3.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

단계 6.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

단계 6.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

단계 7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ 을 $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.3.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.3.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

단계 7.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

단계 7.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

단계 8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

단계 9

변수를 서로 바꿉니다. 각 수식에 대해 방정식을 세웁니다.

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

단계 10

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

단계 10.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

단계 10.3

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

단계 10.4

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ 을(를) ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

단계 10.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1.1

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

단계 10.4.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

단계 10.4.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

단계 10.4.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

단계 10.4.2.1.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

단계 10.4.2.1.4

$- 1 (- y)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

단계 10.4.2.1.4.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

단계 10.4.2.1.5

간단히 합니다.

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

단계 10.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.3.1

${(x - 2)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.3.1.1

${(x - 2)}^{2}$ 을 $(x - 2) (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

단계 10.4.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

단계 10.4.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

단계 10.4.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

단계 10.4.3.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.3.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

단계 10.4.3.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

단계 10.4.3.1.3.1.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

단계 10.4.3.1.3.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

단계 10.5

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

단계 10.5.2

$x^{2} - 4 x + 4 - 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y = x^{2} - 4 x + 0$

단계 10.5.2.2

$x^{2} - 4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = x^{2} - 4 x$

단계 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

단계 12

증명하려면 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ 가 $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 및 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 12.2

$f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[2, \infty)$

단계 12.2.2

$2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, 2]$

단계 12.2.3

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

합집합은 각 구간에 속한 원소를 모두 포함합니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 12.3

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

단계 12.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1.1

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

단계 12.3.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

단계 12.3.2.1.2.2

$- 4 - x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

단계 12.3.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$- 4 - x \leq 0$

단계 12.3.2.2

부등식 양변에 $4$ 를 더합니다.

$- x \leq 4$

단계 12.3.2.3

$- x \leq 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.3.1

$- x \leq 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

단계 12.3.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

단계 12.3.2.3.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{4}{- 1}$

단계 12.3.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.3.3.1

$4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x \geq - 4$

단계 12.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[- 4, \infty)$

단계 12.4

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ 의 정의역이 $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ 의 치역이 $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ 은 $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

단계 13