기초 미적분 예제

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y - 37 = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $37$ 를 더합니다.

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$

단계 2

$12 x^{2} - 12 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

단계 2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

단계 2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- 12$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$- 12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

단계 2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

단계 2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

단계 2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 6}{12}$

단계 2.3.2.2

$- 6$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$- 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

단계 2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1

$12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

단계 2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

단계 2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{2}$

단계 2.3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$d = - \frac{1}{2}$

단계 2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

단계 2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

${(- 12)}^{2}$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1.1

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

단계 2.4.2.1.1.2

$- 1 (12)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

단계 2.4.2.1.1.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

단계 2.4.2.1.1.4

$12^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

단계 2.4.2.1.1.5

$12^{2}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

단계 2.4.2.1.1.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1.6.1

$4 \cdot 12$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

단계 2.4.2.1.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

단계 2.4.2.1.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - \frac{12}{4}$

단계 2.4.2.1.2

$12$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

단계 2.4.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

단계 2.4.2.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

단계 2.4.2.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - \frac{3}{1}$

단계 2.4.2.1.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 3$

단계 2.4.2.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 3$

단계 2.4.2.2

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$e = - 3$

단계 2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ 에 대입합니다.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

단계 3

$12 x^{2} - 12 x$ 를 $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ 로 바꿔 방정식 $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ 에 대입합니다.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 37$

단계 4

양변에 $3$ 을 더하여 $- 3$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 37 + 3$

단계 5

$20 y^{2} + 40 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

단계 5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$40$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$40$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

단계 5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

단계 5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

단계 5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{20}{20}$

단계 5.3.2.2

$20$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{20}{20}$

단계 5.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = 1$

단계 5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

단계 5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$40$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

단계 5.4.2.1.2

$4$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

단계 5.4.2.1.3

$1600$ 을 $80$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 20$

단계 5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 20$

단계 5.4.2.2

$0$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$e = - 20$

단계 5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ 에 대입합니다.

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

단계 6

$20 y^{2} + 40 y$ 를 $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ 로 바꿔 방정식 $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ 에 대입합니다.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 37 + 3$

단계 7

양변에 $20$ 을 더하여 $- 20$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 37 + 3 + 20$

단계 8

$37 + 3 + 20$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$37$ 를 $3$ 에 더합니다.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 40 + 20$

단계 8.2

$40$ 를 $20$ 에 더합니다.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 60$

단계 9

각 항을 $60$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{60} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

단계 10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

단계 11

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 12

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

단계 13

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 14

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.1.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.2.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

단계 15.1.4

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

단계 15.2

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

단계 15.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

단계 15.3.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

단계 15.3.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

단계 15.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

단계 15.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

단계 15.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 15.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 15.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 15.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 15.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

단계 15.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

단계 15.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

단계 15.4.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

단계 16

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

소수 형태:

$0.63245553 \dots$

단계 17