기초 미적분 예제

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y - 44 = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $44$ 를 더합니다.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$

단계 2

$9 x^{2} - 36 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

단계 2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

단계 2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- 36$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$- 36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

단계 2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 9$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

단계 2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

단계 2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 18}{9}$

단계 2.3.2.2

$- 18$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$- 18$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

단계 2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

단계 2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

단계 2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 2}{1}$

단계 2.3.2.2.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 2$

단계 2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

단계 2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$- 36$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

단계 2.4.2.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

단계 2.4.2.1.3

$1296$ 을 $36$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 36$

단계 2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 36$

단계 2.4.2.2

$0$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$e = - 36$

단계 2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ 에 대입합니다.

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

단계 3

$9 x^{2} - 36 x$ 를 $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ 로 바꿔 방정식 $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$ 에 대입합니다.

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 + 4 y^{2} + 32 y = 44$

단계 4

양변에 $36$ 을 더하여 $- 36$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = 44 + 36$

단계 5

$4 y^{2} + 32 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

단계 5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$32$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

단계 5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

단계 5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

단계 5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{16}{4}$

단계 5.3.2.2

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

단계 5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

단계 5.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

단계 5.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{4}{1}$

단계 5.3.2.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 4$

단계 5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

단계 5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$32$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

단계 5.4.2.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

단계 5.4.2.1.3

$1024$ 을 $16$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 64$

단계 5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 64$

단계 5.4.2.2

$0$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$e = - 64$

단계 5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ 에 대입합니다.

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

단계 6

$4 y^{2} + 32 y$ 를 $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ 로 바꿔 방정식 $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$ 에 대입합니다.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = 44 + 36$

단계 7

양변에 $64$ 을 더하여 $- 64$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 44 + 36 + 64$

단계 8

$44 + 36 + 64$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$44$ 를 $36$ 에 더합니다.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 80 + 64$

단계 8.2

$80$ 를 $64$ 에 더합니다.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 144$

단계 9

각 항을 $144$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

단계 10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{36} = 1$

단계 11

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 12

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 6$

$b = 4$

$k = - 4$

$h = 2$

단계 13

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 14

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

단계 15.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

단계 15.1.3

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

단계 15.1.4

$36$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

단계 15.1.5

$20$ 을 $2^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.5.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

단계 15.1.5.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

단계 15.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

단계 15.2

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$2 \sqrt{5}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

단계 15.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

단계 15.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

단계 15.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

단계 16

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

소수 형태:

$0.74535599 \dots$

단계 17