기초 미적분 예제

$\cos (\arccos (x) + \arcsin (x))$

단계 1

삼각함수의 합의 공식 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 을(를) 적용합니다.

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

단계 2

항을 간단히 합니다.

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단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

함수 코사인과 아크코사인은 역함수입니다.

$x \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

단계 2.1.2

평면에 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cos (\arcsin (x))$ 는 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 입니다.

$x \sqrt{1 - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

단계 2.1.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x \sqrt{1^{2} - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

단계 2.1.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

단계 2.1.5

평면에 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arccos (x))$ 는 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 입니다.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

단계 2.1.6

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

단계 2.1.7

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arcsin (x))$

단계 2.1.8

함수 사인과 아크사인은 역함수입니다.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$

단계 2.2

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.2.1

인수가 항 $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 과(와) $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

단계 2.2.2

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 에서 $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 을 뺍니다.

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