기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{5 x^{4} + 3 x^{2} - x}{x^{3}}$

단계 1

$5 x^{4} + 3 x^{2} - x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1

$5 x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + 3 x^{2} - x}{x^{3}}]$

단계 1.2

$3 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) - x}{x^{3}}]$

단계 1.3

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

단계 1.4

$x (5 x^{3}) + x (3 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

단계 1.5

$x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}]$

단계 2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

단계 2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

단계 2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3} + 3 x - 1}{x^{2}}]$

단계 3

$f (x) = 5 x^{3} + 3 x - 1$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 4.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $5 x^{3} + 3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{3}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.5

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.6

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.8

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.9

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + 0) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.10

$15 x^{2} + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

단계 4.12

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 4.12.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

단계 4.12.2

$x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.12.2.1

$x^{2} (15 x^{2} + 3)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

단계 4.12.2.2

$- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

단계 4.12.2.3

$x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

단계 5

공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

단계 5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

단계 5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{15 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 6.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{15 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 6.3.1.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{15 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 6.3.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{15 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 6.3.1.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{15 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 6.3.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{15 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 6.3.1.4

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 6.3.1.5

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 6.3.1.6

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x + 2}{x^{3}}$

단계 6.3.2

$15 x^{3}$ 에서 $10 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{5 x^{3} + 3 x - 6 x + 2}{x^{3}}$

단계 6.3.3

$3 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$\frac{5 x^{3} - 3 x + 2}{x^{3}}$