기초 미적분 예제

$\frac{5 x^{3} + 32 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 $2$ 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 6}$

단계 1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 입니다.

$\frac{(5 x^{3} + 32 x - 4) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

단계 1.4

${(x^{2} + 6)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(5 x^{3} + 32 x - 4) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

단계 1.4.2

$5 x^{3} + 32 x - 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

단계 1.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

${(x^{2} + 6)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

단계 1.5.1.2

$A x + B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

단계 1.5.2

${(x^{2} + 6)}^{2}$ 및 $x^{2} + 6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.2.1

$(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}$ 에서 $x^{2} + 6$ 를 인수분해합니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{x^{2} + 6}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

단계 1.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

단계 1.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 6)}{1}$

단계 1.5.2.2.4

$(C x + D) (x^{2} + 6)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 6)$

단계 1.5.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(C x + D) (x^{2} + 6)$ 를 전개합니다.

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단계 1.5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x (x^{2} + 6) + D (x^{2} + 6)$

단계 1.5.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 6 + D (x^{2} + 6)$

단계 1.5.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

단계 1.5.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.4.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.4.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

단계 1.5.4.1.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.4.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

단계 1.5.4.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

단계 1.5.4.1.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

단계 1.5.4.2

$C x$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + 6 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 6$

단계 1.5.4.3

$D$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + 6 C x + D x^{2} + 6 D$

단계 1.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$B$ 를 옮깁니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + C x^{3} + 6 C x + D x^{2} + B + 6 D$

단계 1.6.2

$6 C x$ 를 옮깁니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + C x^{3} + D x^{2} + 6 C x + B + 6 D$

단계 1.6.3

$A x$ 를 옮깁니다.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = C x^{3} + D x^{2} + A x + 6 C x + B + 6 D$

단계 2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

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단계 2.1

방정식의 각 변의 $x^{3}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$5 = C$

단계 2.2

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = D$

단계 2.3

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$32 = A + 6 C$

단계 2.4

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 4 = B + 6 D$

단계 2.5

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$5 = C$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

$5 = C$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

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단계 3.1

$C = 5$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C = 5$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

단계 3.2

각 방정식에서 $C$ 를 모두 $5$ 로 바꿉니다.

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단계 3.2.1

$D = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$D = 0$

$C = 5$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

단계 3.2.2

$32 = A + 6 C$ 의 $C$ 를 모두 $5$ 로 바꿉니다.

$32 = A + 6 (5)$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

단계 3.3

각 방정식에서 $D$ 를 모두 $0$ 로 바꿉니다.

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단계 3.3.1

$A + 30 = 32$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + 30 = 32$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

단계 3.3.2

$A$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.3.2.1

방정식의 양변에서 $30$ 를 뺍니다.

$A = 32 - 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

단계 3.3.2.2

$32$ 에서 $30$ 을 뺍니다.

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

단계 3.3.3

$- 4 = B + 6 D$ 의 $D$ 를 모두 $0$ 로 바꿉니다.

$- 4 = B + 6 (0)$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

단계 3.3.4

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.4.1

$B + 6 (0)$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.4.1.1

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 4 = B + 0$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

단계 3.3.4.1.2

$B$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

단계 3.4

$B = - 4$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$B = - 4$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

단계 3.5

연립방정식을 풉니다.

$B = - 4 A = 2 D = 0 C = 5$

단계 3.6

모든 해를 나열합니다.

$B = - 4, A = 2, D = 0, C = 5$

단계 4

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 6}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{5 x + 0}{x^{2} + 6}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(5) \cdot x + 0}{x^{2} + 6}$

단계 5.2

$(5) \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{5 x}{x^{2} + 6}$