기초 미적분 예제

$2 x^{3} - 50 x < x^{2} - 25$

단계 1

부등식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} < - 25$

단계 2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} = - 25$

단계 3

방정식의 양변에 $25$ 를 더합니다.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} + 25 = 0$

단계 4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 x^{3} - x^{2} - 50 x + 25 = 0$

단계 4.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(2 x^{3} - x^{2}) - 50 x + 25 = 0$

단계 4.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{2} (2 x - 1) - 25 (2 x - 1) = 0$

단계 4.3

최대공약수 $2 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(2 x - 1) (x^{2} - 25) = 0$

단계 4.4

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 1) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

단계 4.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$(2 x - 1) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

단계 4.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(2 x - 1) (x + 5) (x - 5) = 0$

단계 5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

단계 6

$2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 6.2

$2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 6.2.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 6.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 7

$x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

단계 7.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 8

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 8.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 9

$(2 x - 1) (x + 5) (x - 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{2}, - 5, 5$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 5$

$x > 5$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$2 {(- 8)}^{3} - 50 \cdot - 8 < {(- 8)}^{2} - 25$

단계 11.1.3

좌변 $- 624$ 이 우변 $39$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.2

$- 5 < x < \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$- 5 < x < \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$2 {(0)}^{3} - 50 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 25$

단계 11.2.3

좌변 $0$ 이 우변 $- 25$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.3

$\frac{1}{2} < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$\frac{1}{2} < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$2 {(3)}^{3} - 50 \cdot 3 < {(3)}^{2} - 25$

단계 11.3.3

좌변 $- 96$ 이 우변 $- 16$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.4

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

$2 {(8)}^{3} - 50 \cdot 8 < {(8)}^{2} - 25$

단계 11.4.3

좌변 $624$ 이 우변 $39$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 5$ 참

$- 5 < x < \frac{1}{2}$ 거짓

$\frac{1}{2} < x < 5$ 참

$x > 5$ 거짓

$x < - 5$ 참

$- 5 < x < \frac{1}{2}$ 거짓

$\frac{1}{2} < x < 5$ 참

$x > 5$ 거짓

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 5$ 또는 $\frac{1}{2} < x < 5$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 5) \cup (\frac{1}{2}, 5)$

단계 14