기초 미적분 예제

$2 x^{3} - 32 x < x^{2} - 16$

단계 1

부등식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} < - 16$

단계 2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} = - 16$

단계 3

방정식의 양변에 $16$ 를 더합니다.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} + 16 = 0$

단계 4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 x^{3} - x^{2} - 32 x + 16 = 0$

단계 4.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(2 x^{3} - x^{2}) - 32 x + 16 = 0$

단계 4.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{2} (2 x - 1) - 16 (2 x - 1) = 0$

단계 4.3

최대공약수 $2 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(2 x - 1) (x^{2} - 16) = 0$

단계 4.4

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

단계 4.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$(2 x - 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

단계 4.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(2 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

단계 5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 6

$2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 6.2

$2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 6.2.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 6.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 7

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 7.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 8

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 8.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 9

$(2 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{2}, - 4, 4$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$2 {(- 6)}^{3} - 32 \cdot - 6 < {(- 6)}^{2} - 16$

단계 11.1.3

좌변 $- 240$ 이 우변 $20$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.2

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$2 {(0)}^{3} - 32 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 16$

단계 11.2.3

좌변 $0$ 이 우변 $- 16$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.3

$\frac{1}{2} < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$\frac{1}{2} < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$2 {(2)}^{3} - 32 \cdot 2 < {(2)}^{2} - 16$

단계 11.3.3

좌변 $- 48$ 이 우변 $- 12$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.4

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$2 {(6)}^{3} - 32 \cdot 6 < {(6)}^{2} - 16$

단계 11.4.3

좌변 $240$ 이 우변 $20$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ 거짓

$\frac{1}{2} < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ 거짓

$\frac{1}{2} < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 4$ 또는 $\frac{1}{2} < x < 4$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 4) \cup (\frac{1}{2}, 4)$

단계 14