기초 미적분 예제

$y = 2 \sin (x + \frac{π}{2}) + 2$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 \sin (x + \frac{π}{2}) + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x + \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x + \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x + \frac{π}{2})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin (x + \frac{π}{2})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{2})]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x + \frac{π}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + \frac{π}{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x + \frac{π}{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $x + \frac{π}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ 가 됩니다.

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.5

$\frac{π}{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{π}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.7

$\cos (x + \frac{π}{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \cos (x + \frac{π}{2}) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$2 \cos (x + \frac{π}{2}) + 0$

단계 1.3.2

$2 \cos (x + \frac{π}{2})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \cos (x + \frac{π}{2})$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (x + \frac{π}{2})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{2})]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x + \frac{π}{2}))$

단계 2.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x + \frac{π}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + \frac{π}{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

단계 2.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x + \frac{π}{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 (- \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 (\sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $x + \frac{π}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

단계 2.3.4

$\frac{π}{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{π}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

단계 2.3.5.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2})$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$2 \cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

단계 4

$2 \cos (x + \frac{π}{2}) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$2 \cos (x + \frac{π}{2}) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (x + \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x + \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

단계 4.2.1.2

$\cos (x + \frac{π}{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x + \frac{π}{2}) = \frac{0}{2}$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

단계 5

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

단계 6

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

단계 7

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

방정식의 양변에서 $\frac{π}{2}$ 를 뺍니다.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

단계 7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π - π}{2}$

단계 7.3

$π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{0}{2}$

단계 7.4

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 8

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 9

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 9.1.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 9.1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 9.1.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

단계 9.1.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

단계 9.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{π}{2}$ 를 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

단계 9.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{3 π - π}{2}$

단계 9.2.3

$3 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 π}{2}$

단계 9.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{2 π}{2}$

단계 9.2.4.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = π$

단계 10

방정식 $x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ 의 해.

$x = 0, π$

단계 11

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 \sin ((0) + \frac{π}{2})$

단계 12

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$0$ 를 $\frac{π}{2}$ 에 더합니다.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

단계 12.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 12.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 13

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 14

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 2 \sin ((0) + \frac{π}{2}) + 2$

단계 14.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1.1

$0$ 를 $\frac{π}{2}$ 에 더합니다.

$f (0) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2$

단계 14.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (0) = 2 \cdot 1 + 2$

단계 14.2.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (0) = 2 + 2$

단계 14.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (0) = 4$

단계 14.2.3

최종 답은 $4$ 입니다.

$y = 4$

단계 15

$x = π$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 \sin ((π) + \frac{π}{2})$

단계 16

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

단계 16.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

단계 16.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 2 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

단계 16.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 2 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

단계 16.3.2

$2 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 16.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

단계 16.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

단계 16.6

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \cdot - 1$

단계 16.6.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 17

이계도함수가 양수이므로 $x = π$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = π$ 은 극소값입니다.

단계 18

$x = π$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

수식에서 변수 $x$ 에 $π$ 을 대입합니다.

$f (π) = 2 \sin ((π) + \frac{π}{2}) + 2$

단계 18.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (π) = 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}) + 2$

단계 18.2.1.2

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (π) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}) + 2$

단계 18.2.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (π) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2}) + 2$

단계 18.2.1.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1.4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (π) = 2 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2}) + 2$

단계 18.2.1.4.2

$2 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$f (π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2$

단계 18.2.1.5

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 2$

단계 18.2.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + 2$

단계 18.2.1.7

$2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1.7.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 2$

단계 18.2.1.7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (π) = - 2 + 2$

단계 18.2.2

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (π) = 0$

단계 18.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 19

$f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{2}) + 2$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 4)$ 은 극댓값임

$(π, 0)$ 은 극솟값임

단계 20