기초 미적분 예제

$x = 2 \sin (t)$ , $y = 2 \cos (t)$

단계 1

매개변수 방정식 $x (t)$ 를 세워 방정식 $t$ 을 풉니다.

$x = 2 \sin (t)$

단계 2

$2 \sin (t) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 \sin (t) = x$

단계 3

$2 \sin (t) = x$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$2 \sin (t) = x$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{x}{2}$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{x}{2}$

단계 3.2.1.2

$\sin (t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (t) = \frac{x}{2}$

단계 4

사인 안의 $t$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

단계 5

$x$ 에 대한 방정식을 얻기 위하여 $y$ 의 방정식에서 $t$ 를 바꿉니다.

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

단계 6

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

단계 7

$2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

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단계 7.1.1

평면에 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (\frac{x}{2})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ 는 $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ 입니다.

$y = 2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

단계 7.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

단계 7.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{x}{2}$ 입니다.

$y = 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

단계 7.3

항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = 2 \sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

단계 7.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})}$

단계 7.3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

단계 7.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}$

단계 7.3.5

$\frac{2 + x}{2}$ 에 $\frac{2 - x}{2}$ 을 곱합니다.

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

단계 7.3.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

단계 7.4

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.4.1

$(2 + x) (2 - x)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

단계 7.4.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

단계 7.4.3

분수 $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

단계 7.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = 2 (\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)})$

단계 7.6

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 을 묶습니다.

$y = 2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

단계 7.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.7.1

공약수로 약분합니다.

$y = 2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

단계 7.7.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$