기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{4 x - 3}{3 x + 1}$

단계 1

$f (x) = 4 x - 3$ , $g (x) = 3 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 3] - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(3 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.5

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{(3 x + 1) (4 + 0) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(3 x + 1) \cdot 4 - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.6.2

$3 x + 1$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot (3 x + 1) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.8

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.10

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.12

식을 간단히 합니다.

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단계 2.12.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 2.12.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (3 x + 1) - 3 (4 x - 3)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x - 3)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.3.1.1

인수가 항 $4 (3 x)$ 과(와) $- 3 (4 x)$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{3 \cdot 4 x + 4 \cdot 1 - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$3 \cdot 4 x$ 에서 $3 \cdot 4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{4 \cdot 1 + 0 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

$4 \cdot 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 \cdot 1 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2.2

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{4 + 9}{{(3 x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.3

$4$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{13}{{(3 x + 1)}^{2}}$