기초 미적분 예제

${(3 x + y)}^{4}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(3 x + y)}^{4}$ 의 경우 $n = 4$ 이므로 전개식의 계수는 선 $5$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ 입니다.

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

단계 3

$a$ $3 x$ 및 $b$ $y$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(3 x)}^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(3 x)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(3 x)}^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.2

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{4} x^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.3

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$81 x^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 x^{4} \cdot 1 + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.5

$81$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.6

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.7

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.8

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.9

간단히 합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.10

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (3^{2} x^{2}) {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.11

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (9 x^{2}) {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.12

$9$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.13

간단히 합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 (3 x) {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.14

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.15

${(3 x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.16

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 3^{0} x^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.17

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 1 x^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.18

$x^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + x^{0} {(y)}^{4}$

단계 4.19

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 1 {(y)}^{4}$

단계 4.20

${(y)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}$