기초 미적분 예제

$f (x) = (5 x^{5} + 5) (- 2 x^{5} - 3)$

단계 1

$f (x) = 5 x^{5} + 5$ , $g (x) = - 2 x^{5} - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{5} + 5) \frac{d}{d x} [- 2 x^{5} - 3] + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $- 2 x^{5} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$(5 x^{5} + 5) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{5}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$(5 x^{5} + 5) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

단계 3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{5} + 5) (- 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

단계 3.3

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4} + 0) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

단계 4.2

$- 10 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $5 x^{5} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 5

$\frac{d}{d x} [5 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{5}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 5.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5])$

단계 5.3

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4} + \frac{d}{d x} [5])$

단계 6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4} + 0)$

단계 6.2

$25 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{5} (- 10 x^{4}) + 5 (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4})$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{5} (- 10 x^{4}) + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

단계 7.3

항을 묶습니다.

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단계 7.3.1

$- 10$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 50 x^{5} x^{4} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

단계 7.3.2

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$- 50 (x^{4} x^{5}) + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

단계 7.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 50 x^{4 + 5} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

단계 7.3.2.3

$4$ 를 $5$ 에 더합니다.

$- 50 x^{9} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

단계 7.3.3

$- 10$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

단계 7.3.4

$25$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{5} x^{4} - 3 (25 x^{4})$

단계 7.3.5

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.5.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 (x^{4} x^{5}) - 3 (25 x^{4})$

단계 7.3.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{4 + 5} - 3 (25 x^{4})$

단계 7.3.5.3

$4$ 를 $5$ 에 더합니다.

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{9} - 3 (25 x^{4})$

단계 7.3.6

$25$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{9} - 75 x^{4}$

단계 7.3.7

$- 50 x^{9}$ 에서 $50 x^{9}$ 을 뺍니다.

$- 100 x^{9} - 50 x^{4} - 75 x^{4}$

단계 7.3.8

$- 50 x^{4}$ 에서 $75 x^{4}$ 을 뺍니다.

$- 100 x^{9} - 125 x^{4}$