기초 미적분 예제

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y - 426 = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $426$ 를 더합니다.

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$

단계 2

$6 x^{2} - 12 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 6$

$b = - 12$

$c = 0$

단계 2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 6}$

단계 2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- 12$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$- 12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

단계 2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (6)}$

단계 2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

단계 2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 6}{6}$

단계 2.3.2.2

$- 6$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$- 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6}$

단계 2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 (1)}$

단계 2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 1}$

단계 2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{1}$

단계 2.3.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 1$

단계 2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 6}$

단계 2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$- 12$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 6}$

단계 2.4.2.1.2

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{144}{24}$

단계 2.4.2.1.3

$144$ 을 $24$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 6$

단계 2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 6$

단계 2.4.2.2

$0$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$e = - 6$

단계 2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ 에 대입합니다.

$6 {(x - 1)}^{2} - 6$

단계 3

$6 x^{2} - 12 x$ 를 $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ 로 바꿔 방정식 $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ 에 대입합니다.

$6 {(x - 1)}^{2} - 6 + 54 y^{2} + 108 y = 426$

단계 4

양변에 $6$ 을 더하여 $- 6$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 y^{2} + 108 y = 426 + 6$

단계 5

$54 y^{2} + 108 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 54$

$b = 108$

$c = 0$

단계 5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{108}{2 \cdot 54}$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$108$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$108$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

단계 5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 54$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 (54)}$

단계 5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

단계 5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{54}{54}$

단계 5.3.2.2

$54$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{54}{54}$

단계 5.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = 1$

단계 5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{108^{2}}{4 \cdot 54}$

단계 5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$108$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 54}$

단계 5.4.2.1.2

$4$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{11664}{216}$

단계 5.4.2.1.3

$11664$ 을 $216$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 54$

단계 5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 54$

단계 5.4.2.2

$0$ 에서 $54$ 을 뺍니다.

$e = - 54$

단계 5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ 에 대입합니다.

$54 {(y + 1)}^{2} - 54$

단계 6

$54 y^{2} + 108 y$ 를 $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ 로 바꿔 방정식 $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ 에 대입합니다.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} - 54 = 426 + 6$

단계 7

양변에 $54$ 을 더하여 $- 54$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 426 + 6 + 54$

단계 8

$426 + 6 + 54$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$426$ 를 $6$ 에 더합니다.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 432 + 54$

단계 8.2

$432$ 를 $54$ 에 더합니다.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 486$

단계 9

각 항을 $486$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{6 {(x - 1)}^{2}}{486} + \frac{54 {(y + 1)}^{2}}{486} = \frac{486}{486}$

단계 10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{81} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

단계 11

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 12

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 9$

$b = 3$

$k = - 1$

$h = 1$

단계 13

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 14

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}}{9}$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{81 - 3^{2}}}{9}$

단계 15.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}{9}$

단계 15.1.3

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{81 - 9}}{9}$

단계 15.1.4

$81$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{72}}{9}$

단계 15.1.5

$72$ 을 $6^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.5.1

$72$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{36 (2)}}{9}$

단계 15.1.5.2

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}{9}$

단계 15.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{6 \sqrt{2}}{9}$

단계 15.2

$6$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$6 \sqrt{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{9}$

단계 15.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 (3)}$

단계 15.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

단계 15.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

단계 16

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

소수 형태:

$0.94280904 \dots$

단계 17