기초 미적분 예제

$6 x < \frac{36}{x + 5}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{36}{x + 5}$ 를 뺍니다.

$6 x - \frac{36}{x + 5} < 0$

단계 2

$6 x - \frac{36}{x + 5}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $6 x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x (x + 5)}{x + 5} - \frac{36}{x + 5} < 0$

단계 2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6 x (x + 5) - 36}{x + 5} < 0$

단계 2.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$6 x (x + 5) - 36$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.3.1.1

$6 x (x + 5)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (x (x + 5)) - 36}{x + 5} < 0$

단계 2.3.1.2

$- 36$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6}{x + 5} < 0$

단계 2.3.1.3

$6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (x (x + 5) - 6)}{x + 5} < 0$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 (x \cdot x + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

단계 2.3.3

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{6 (x^{2} + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

단계 2.3.4

$x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{6 (x^{2} + 5 \cdot x - 6)}{x + 5} < 0$

단계 2.3.5

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.3.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$- 1, 6$

단계 2.3.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{6 ((x - 1) (x + 6))}{x + 5} < 0$

$\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5} < 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 5 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 6

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 1$

$x = - 6$

$x = - 5$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 1, - 6, - 5$

단계 9

$\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 5 = 0$

단계 9.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.1.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$6 (- 8) < \frac{36}{(- 8) + 5}$

단계 11.1.3

좌변 $- 48$ 이 우변 $- 12$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.2

$- 6 < x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.2.1

$- 6 < x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 5.5$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 5.5$ 로 치환합니다.

$6 (- 5.5) < \frac{36}{(- 5.5) + 5}$

단계 11.2.3

좌변 $- 33$ 이 우변 $- 72$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.3

$- 5 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.3.1

$- 5 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$6 (0) < \frac{36}{(0) + 5}$

단계 11.3.3

좌변 $0$ 이 우변 $7.2$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.4

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.4.1

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$6 (4) < \frac{36}{(4) + 5}$

단계 11.4.3

좌변 $24$ 이 우변 $4$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 6$ 참

$- 6 < x < - 5$ 거짓

$- 5 < x < 1$ 참

$x > 1$ 거짓

$x < - 6$ 참

$- 6 < x < - 5$ 거짓

$- 5 < x < 1$ 참

$x > 1$ 거짓

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 6$ 또는 $- 5 < x < 1$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 6) \cup (- 5, 1)$

단계 14