기초 미적분 예제

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y - 4 = 0$

단계 1

쌍곡선 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$

단계 1.2

$x^{2} - 4 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$2 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 2}{1}$

단계 1.2.3.2.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 2$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1.1

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.4.2.1.1.2

$- 1 (4)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.4.2.1.1.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.4.2.1.1.4

$4^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.4.2.1.1.5

$4^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.4.2.1.1.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1.6.1

$4 \cdot 1$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

단계 1.2.4.2.1.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.4.2.1.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

단계 1.2.4.2.1.1.6.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 4$

단계 1.2.4.2.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 4$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$e = - 4$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(x - 2)}^{2} - 4$ 에 대입합니다.

${(x - 2)}^{2} - 4$

단계 1.3

$x^{2} - 4 x$ 를 ${(x - 2)}^{2} - 4$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ 에 대입합니다.

${(x - 2)}^{2} - 4 - 4 y^{2} + 8 y = 4$

단계 1.4

양변에 $4$ 을 더하여 $- 4$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} + 8 y = 4 + 4$

단계 1.5

$- 4 y^{2} + 8 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 4$

$b = 8$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{8}{2 \cdot - 4}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot - 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- 4)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{4}{- 4}$

단계 1.5.3.2.2

$4$ 및 $- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 (1)}{- 4}$

단계 1.5.3.2.2.2

$\frac{1}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 1$

단계 1.5.3.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$d = - 1$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 4}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

단계 1.5.4.2.1.3

$64$ 을 $- 16$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 4$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 4$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$e = 4$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ 에 대입합니다.

$- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$

단계 1.6

$- 4 y^{2} + 8 y$ 를 $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ 에 대입합니다.

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} + 4 = 4 + 4$

단계 1.7

양변에 $4$ 을 더하여 $4$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4 + 4 - 4$

단계 1.8

$4 + 4 - 4$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 8 - 4$

단계 1.8.2

$8$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4$

단계 1.9

각 항을 $4$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{1} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 2$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 2$

단계 4

쌍곡선의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(2, 1)$

단계 5